Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 4
Quais das séries definidas pelas fórmulas nos Exercícios 1-4 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.
4.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, pretendemos que nenhum fatorial apareça no enésimo termo . Portanto, tentaremos comparar fatoriais com algumas outras expressões. De acordo com a definição do fatorial, temos:
Portanto, para
Com isso, nós temos que
Como comparamos os fatoriais com (para ), então poderíamos determinar a convergência da ordem usando o Teste da Comparação Direta.
Passo 2
Para relembrar o teste da comparação direta, vamos considerar duas séries: e . Sendo duas séries com termos não negativos tais que para cada número natural mantém que
Se a série converge, então a série também converge, caso a série divergir, logo, a série também irá divergir.
Para encontrar , vamos agir na expressão (1) com uma função logarítmica. Como a base da função logarítmica é , então a função logarítmica é crescente e o sinal de desigualdade permanece inalterado:
Usando as propriedades dos logaritmos, nós temos que
Como uma das propriedades da função logarítmica é a propriedade , podemos escrever a desigualdade (2) como:
Dividindo os dois lados por
Passo 3
Observe que ambas as séries e têm termos não negativos porque e a função logarítmica é positiva para todo (porque a base é maior que 1).
Uma vez que todas as condições do Teste de Comparação Direta são atendidas (os termos são não negativos e ), então podemos aplicar o Teste de Comparação Direta. A série
É uma p-série com , como , então a série converge, portanto, a série também converge.