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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 29

Teorema de Nicole Oresme - Prove o teorema de Nicole Oresme, que diz

1 + 1 2 ∙ 2 + 1 4 ∙ 3 + … + n 2 n - 1 + … = 4

(Sugestão: derive ambos os lados da equação 1 1 - x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n .)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós sabemos que

1 1 - x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n ,     p a r a   x < 1

Agora, diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos

d d x 1 1 - x = d d x 1 + ∑ n = 1 ∞ x n

Com isso, nós temos que

1 1 - x 2 = 0 + ∑ n = 1 ∞ n x n - 1

Passo 2

Colocando x = 1 2 nos dois lados, obtemos que

1 1 - 1 2 2 = 1 + 2 1 2 + 3 1 2 2 + 4 1 2 3 + … + n 1 2 n - 1 + …

Ou seja, isso prova o teorema de Nicole Oresme

Resposta

Respondido acima!

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