A soma de dois números positivos é 16 . Qual é o menor valor possível para a soma de seus quadrados?

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 4

A soma de dois números positivos é . Qual é o menor valor possível para a soma de seus quadrados?

Passo 1

Fala aí, pessoal! Belezinha?

A questão nos diz que a soma de dois números positivos é e pergunta qual o menor valor possível para a soma de seus quadrados.

Em termos matemáticos é o seguinte: os valores e são dois números positivos desconhecidos cuja a soma é , ou seja,

Sabendo disso, queremos minimizar a função

Esse é um problema de otimização, né? Onde queremos minimizar o valor da função Para isso, vamos encontrar o valor mínimo da função da seguinte forma:

Escrevendo em função de apenas uma variável.
Derivando a função .
Igualando a derivada de a zero.
Avaliando a função no ponto crítico encontrado.

Vamos lá! 😊

Passo 2

Vamos colocar a função em função de apenas uma variável. Isolando a variável em

temos que

Substituindo essa igualdade em

Rearrumando os termos temos que:

ou seja,

Passo 3

Vamos derivar a função

para encontrar os seus pontos críticos. Para isso, vamos usar a Regra da Potência em cada um dos seus termos. Relembrando a Regra da Potência:

Assim,

e igualamos a zero:

ou seja,

Substituindo o valor de encontrado na equação

então temos

logo,

Passo 4

Dessa forma, o menor valor possível para a soma dos quadrados de dois números positivos que somados dão , é:

Entendeu direitinho?? Responde ae 😉!

Resposta

O menor valor possível para a soma dos quadrados de dois números positivos cuja soma é

é igual a .

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