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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 28

Calcule a integral.

int_0^(2 pi) t^2 s e n (2 t) d t

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema. Devemos integrar:

int_0^(2 pi) t^2 s e n (2 t) d t

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( t ) e g ( t ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

int_()^() u d v = u v - int_()^() v d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

int_()^() f (t) g ' (t) = f (t) g (t) - int_()^() f^' (t) g ( t )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f (t) ou a mais difícil de se integrar. Assim:

f (t) = t^2 e g^' (t) = s e n ( 2 t )

Derivando f e integrando g ' , temos:

f (t) = t^2 => f^' (t) = 2 t

g^' (t) = s e n ( 2 t ) => g (t) = int_()^() s e n (2 t) d t = - (c o s c o s (2 t))/(2)

Passo 2

Aplicando os resultados obtidos na fórmula citada no passo anterior, temos:

int_0^(2 pi) t^2 s e n (2 t) d t = - (1)/(2) t^2 c o s c o s (2 t) | (2 pi)/(0) - int_0^(2 pi) - 2 t (c o s c o s 2 t)/(2) d t

= - (1)/(2) t^2 c o s c o s (2 t) | (2 pi)/(0) + int_0^(2 pi) t c o s c o s 2 t d t

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f_1 (t) = t e g_1^' ( t ) = c o s c o s 2 t

Derivando f e integrando g ' , temos:

f_1 (t) = t => f^' (t) = 1

g_1^' (t) = c o s c o s 2 t => g_1 (t) = int_()^() c o s c o s 2 t �� d t = (s e n (2 t))/(2)

Então, podemos escrever que:

int_()^() t c o s c o s 2 t d t = (t)/(2) s e n (2 t) - int_()^() (s e n (2 t))/(2) d t = (t)/(2) s e n (2 t) + (1)/(2) (1)/(2) c o s c o s 2 t = (t)/(2) s e n (2 t) + (1)/(4) c o s c o s 2 t

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados e os limites de integração, temos:

int_0^(2 pi) t^2 s e n (2 t) d t = - (1)/(2) t^2 c o s c o s (2 t) | (2 pi)/(0) + int_0^(2 pi) t c o s c o s 2 t d t =

- (1)/(2) t^2 c o s c o s (2 t) | (2 pi)/(0) + [ (t)/(2) s e n (2 t) + (1)/(4) c o s c o s 2 t ] | (2 pi)/(0) =

= (- (4 pi^2)/(2) c o s c o s (4 pi) + 0) + ((2 pi)/(2) s e n (4 pi) + (1)/(4) c o s c o s (4 pi) - (0 + (1)/(4) c o s c o s 0)) =

= - 2 pi^2

Relembrando que de forma genérica a integral definida possui a seguinte definição:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

- 2 pi^2

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