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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 34

Calcule a integral.

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (1 + 4 cotg x)/(4 - cotg x) d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int (1 + 4 cotg x)/(4 - cotg x) d x

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos simplificar a expressão:

int (1 + 4 cotg x)/(4 - cotg x) d x = int (1 + (4 cos x)/(sen x))/(4 - (cos x)/(sen x)) d x = int ((1 + (4 cos x)/(sen x)) sen x)/((4 - (cos x)/(sen x)) sen x) d x = int (sen x + 4 cos x)/(4 sen x - cos x) d x

Vamos fazer uma Substituição agora, usando u como o denominador:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 4 sen x - cos x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 4 cos x + sen x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (sen x + 4 cos x)/(4 sen x - cos x) d x = int (d u)/(u)

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (d u)/(u) = ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 4 sen x - cos x :

int (sen x + 4 cos x)/(4 sen x - cos x) d x = int (d u)/(u) = ln |u| + C = ln |4 sen x - cos x| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (1 + 4 cotg x)/(4 - cotg x) d x = (ln |4 sen x - cos x|)_((pi)/(4))^((pi)/(2)) = ln |4 sen (pi)/(2) - cos (pi)/(2)| - ln |4 sen (pi)/(4) - cos (pi)/(4)| = ln 4 - ln (3 sqrt(2))/(2)

Resposta

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (1 + 4 cotg x)/(4 - cotg x) d x = ln 4 - ln (3 sqrt(2))/(2)

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