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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 41 - d

Uma superfície S é representada pela equação vetorial r →   u , v   = 4 cos ⁡ u ,       4 s e n   u   ,       4 v

0 ≤ u ≤ 2 π

0 ≤ v ≤ 2

  1. Determinar a equação cartesiana de S
  2. Desenhar sobre a superfície S as curvas coordenadas obtidas fixando u = π 3 e v   =   1 , respectivamente
  3. Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v   no ponto em que u = π 3 e v = 1 , representando -o no correspondente ponto P de S
  4. Supondo que uma lamina de densidade constante é representada por r →   u , v ,   determine o momento de inercia da lamina em relação ao eixo z

Passo 1

  1. Supondo que uma lamina de densidade constante é representada por r →   u , v ,   determine o momento de inercia da lamina em relação ao eixo z

Vamos usar tudo o que já calculamos ate aqui. E usar a seguinte relação

∫ ∫ S F   x , y , z d S =     ∫ ∫ R F ( r u , v ) ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v    

  • Então o que vamos fazer é achar δ .
  • Parametrizar
  • Calcular ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v

`Momento de inercia tem a seguinte equação

I =   ∫ ∫ S δ ( x , y , z 2 F   x , y , z d S  

E a densidade é constante. Ou seja F   x , y , z = c

δ ( x , y , z ) é a distancia da superfície ao eixo de rotação, ou seja ate o eixo Z

δ x , y , z = x 2 + y 2

Como estamos num cilindro a distancia ate o eixo é sempre a mesma, o raio desse cilindro.

δ x , y , z = 16

Desta vez nem precisamos parametrizar porque esse delta é constante

Passo 2

Calcular ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v

Sabemos que

∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v = 16 cos ⁡ u ,   16 s e n   u , 0

Agora precisamos so calcular o modulo desse vetor

16 2 c o s 2 u + s e n 2 u  

= 16

Passo 3

Vamos calcular essa integral

I =   ∫ ∫ S δ ( x , y , z 2 F   x , y , z d S = ∫ ∫ R δ ( x , y , z 2 F ( r u , v ) ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v        

=   ∫ ∫ R 16 2 c 16   d u d v    

= 16 2 c   ∫ ∫ R   d u d v    

Agora essa integral é molezinha. Já que nossos intervalos de integração são

0 ≤ u ≤ 2 π

0 ≤ v ≤ 2

O que nos da

= 16   c   [ 4 π ]

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R δ ( x , y , z 2 F ( r u , v ) ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v     = 64 π c  

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