Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área lateral igual a 5   c m 2 .

Passo 1

Então pessoal, de início o que temos que fazer é modelar as equações do nosso problema. Se fizermos isso, de acordo com o que foi estudado na literatura, teremos:

m á x i m o : a b c s . a : a b + 2 b c + 2 a c = 5

Tudo bem, agora o que devemos fazer é utilizar o formalismo da função lagrangeana, se liga:

L = a b c - α a b + 2 b c + 2 a c - 5

Ok, a primeira parte foi encontrada!

Passo 2

Agora o que temos que fazer é derivar parcialmente nossa lagrangeana e igualar os resultados a zero, saca só:

∂ L ∂ a = b c - α b - 2 c α = 0

∂ L ∂ b = a c - α a - 2 c α = 0

∂ L ∂ c = a b - 2 α b - 2 α a = 0

E, por fim:

∂ L ∂ α = - α b - 2 b c - 2 a c + 5 = 0

Sendo assim, o sistema que teremos é:

b c - α b - 2 c α = 0 a c - α a - 2 c α = 0 a b - 2 α b - 2 α a = 0 - α b - 2 b c - 2 a c + 5 = 0

Resolvendo o sistema obteremos as seguintes dimensões:

a = 5 3 ,   b = 5 3   e   c = 5 2 3

Que é o que procurávamos! 😉

Resposta

Dimensões: a = 5 3 ,   b = 5 3   e   c = 5 2 3 .

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