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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 40

Determine a massa de um funil fino com o formato do cone z = x 2 + y 2 ,   1 ≤ z ≤ 4 , se sua função densidade é ρ x , y , z = 10 - z .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Ela diz para encontrarmos a massa de um funil fino, com formato do cone

z = x 2 + y 2

Sendo que z varia entre

1 ≤ z ≤ 4

E a função densidade do funil é

ρ x , y , z = 10 - z

Para calcular a massa temos que usar a fórmula:

m = ∬ S ρ ( x , y , z ) d S

O caminho será:

Substituindo a função densidade na integral, depois parametrizaremos a superfície e acharemos o vetor normal, acharemos os limites de integração, depois montaremos a integral e finalmente, resolveremos!

Partiu?

Passo 2

Temos:

m = ∬ S ρ ( x , y , z ) d S

Sendo que

ρ x , y , z = 10 - z

E

z = x 2 + y 2

Assim:

ρ x , y , z = 10 - x 2 + y 2

Substituindo:

∬ S ρ ( x , y , z ) d S = ∬ S 10 - x 2 + y 2 d S

Temos que

d S = | n → | d A

∬ S 10 - x 2 + y 2 | n → | d A

O vetor normal vai ser dado por:

n → = | r → x × r → y |

Onde r → é a superfície parametrizada. Vamos calcular?

Passo 3

Vamos parametrizar essa superfície!

Como temos que z = x 2 + y 2 , então uma parametrização possível é:

x = x y = y z = x 2 + y 2

Assim o vetor r → é:

r → = x i → + y j → + x 2 + y 2 k →

E as derivadas parciais r → x e r → y são:

r → x = 1 i → + x x 2 + y 2 k →

r → y = 1 j → + y x 2 + y 2 k →

E o produto vetorial entre eles é:

r → x × r → y = i → j → k → 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2

Calculando o determinante dessa matriz, chegamos em:

r → x × r → y = - x x 2 + y 2 i → - y x 2 + y 2 j → - k →

E para calcular o módulo, simplesmente tiramos a raiz quadrada da soma dos componentes ao quadrado:

r → x × r → y = - x x 2 + y 2 2 + - y x 2 + y 2 2 + - 1 2

Calculando os quadrados:

- x x 2 + y 2 2 + - y x 2 + y 2 2 + - 1 2 = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

Juntando os termos:

x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) + 1

Como temos x 2 + y 2 em cima e embaixo, podemos cancelar eles:

x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) + 1 = 1 + 1 = 2

Logo,

r → x × r → y = 2

Passo 4

Legal! O próximo passo é determinar a área a ser integrada. A projeção do cone no plano x y é uma série de círculos com raios que variam entre 1 e 4 , pois 1 ≤ z ≤ 4 . Então a região pode ser dada, em coordenadas polares da seguinte forma:

1 ≤ r ≤ 4 0 ≤ θ ≤ 2 π   d A = r . d r . d θ

E o integrando em polares fica:

ρ r , θ = 10 - r 2

ρ r , θ = 10 - r

Pronto, agora é só jogar na integral!

Passo 5

Vamos montar a integral!

Lembrando que temos

∬ S 10 - x 2 + y 2 | n → | d A

Porém, achamos que

ρ r , θ = 10 - r

n → = r → x × r → y = 2

E d A em coordenadas polares é

1 ≤ r ≤ 4 0 ≤ θ ≤ 2 π   d A = r . d r . d θ

Substituindo os valores do integrando e o diferencial de área temos:

m = ∫ 0 2 π ∫ 1 4 2 10 - r r . d r . d θ

Fazendo a distributiva:

m = ∫ 0 2 π ∫ 1 4 2 10 r - r 2 . d r . d θ

Passo 6

Partiu calcular!

Integrando em relação à r primeiro:

∫ 0 2 π ∫ 1 4 2 10 r - r 2 . d r . d θ = 2 ∫ 0 2 π 10 r 2 2 - r 3 3 1 4 d θ

Aplicando os limites de integração temos:

2 ∫ 0 2 π 10 r 2 2 - r 3 3 1 4 d θ = 2 5 . 4 2 - 4 3 3 - 5 + 1 3 3 ∫ 0 2 π d θ

Simplificando:

2 5 . 4 2 - 4 3 3 - 5 + 1 3 3 ∫ 0 2 π d θ = 64 2 ∫ 0 2 π d θ

Integrando em relação à θ :

64 2 ∫ 0 2 π d θ = 64 2 θ 0 2 π

Aplicando os limites:

64 2 θ 0 2 π = 64 2 2 π - 0

Simplificando

64 2 2 π - 0 = 108 2 π

É isso pessoal! Essa é a massa! m = 108 2 π .

Resposta

m = 108 2 π

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