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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 2b

Calcule o centro de massa da superfície homogênea (densidade constante) dada:

b )   σ é a parte da superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 compreendida entre os planos z = 1 e z = 2 .

Passo 1

Como a densidade é constante, não precisamos nos preocupar com ela.

Vamos calcular a massa primeiro:

M = ∬ σ f x , y , z d S

Vamos parametrizar a região:

x = u y = v z = u 2 +   v 2

Como está parametrizado, a gente precisa fazer d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v . Vamos lá então:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , u u 2 + v 2

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , v u 2 + v 2 )

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 u u 2 + v 2 0 1 v u 2 + v 2

= i → 0 u u 2 + v 2 1 v u 2 + v 2 - j → 1 u u 2 + v 2 0 v u 2 + v 2 + k → 1 0 0 1

=   i → - u u 2 + v 2 - j → v u 2 + v 2 + k → ( 1 )

=   - u u 2 + v 2   i → - v u 2 + v 2 j → + k →

Passo 2

Agora a norma:

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - u u 2 + v 2 2 + - v u 2 + v 2 2 + 1 2 = u 2 + v 2 u 2 + v 2 + 1 = 1 + 1 = 2  

A nossa massa então é dada por:

M = ∬ K   2   d u d v

Jogando nossa região para coordenadas polares:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ z = ρ 2 = ρ

1 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Nossa massa então é:

M = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 2 ρ   d ρ d θ

= 2 ∫ 0 2 π ρ 2 2 1 2 d θ  

= 2 ∫ 0 2 π 2 - 1 2 d θ

= 2 2 π 3 2

= 3 2 π

Beleza, essa é a massa! Bora pro centro de massa agora...

Passo 3

As coordenadas do centro de massa são:

x - = ∬ σ x   d S

y - = ∬ σ y   d S

z - = ∬ σ z   d S

Vamos calcular então:

x - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ c o s   θ   2   ρ d ρ d θ

= 1 M ∫ 0 2 π c o s   θ   d θ ∫ 1 2 ρ 2   2 d ρ

= 1 M ⋅ 0 ⋅ ∫ 1 2 ρ 2   2 d ρ = 0

A coordenada y ...

y - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ s e n   θ   2 ρ d ρ d θ

= 1 M ∫ 0 2 π s e n     θ   d θ ∫ 1 2 ρ   2 ρ d ρ

= 1 M ⋅ 0 ⋅ ∫ 1 2 ρ 2   2 d ρ = 0  

E a coordenada z :

z - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ   2 ρ d ρ d θ

= 1 3 2 π ⋅ 2 ∫ 0 2 π ρ 3 3 1 2 d θ

= 1 3 π ∫ 0 2 π 8 3 - 1 3 d θ

= 1 3 π 2 π 7 3

= 14 9

Então o centro de massa é:

C m = 0,0 , 14 9

e... agora acabou! 🙏

Resposta

C m = 0,0 , 14 9

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