Calcule o centro de massa da superfície homogênea (densidade constante) dada:
é a parte da superfície cônica compreendida entre os planos e .
Passo 1
Como a densidade é constante, não precisamos nos preocupar com ela.
Vamos calcular a massa primeiro:
Vamos parametrizar a região:
Como está parametrizado, a gente precisa fazer . Vamos lá então:
Passo 2
Agora a norma:
A nossa massa então é dada por:
Jogando nossa região para coordenadas polares:
Nossa massa então é:
Beleza, essa é a massa! Bora pro centro de massa agora...
Passo 3
As coordenadas do centro de massa são:
Vamos calcular então:
A coordenada ...
E a coordenada :
Então o centro de massa é:
e... agora acabou! 🙏