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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.6 - Ex. 8

Suponha que queremos construir um conjunto de polinômios ortogonais no intervalo –1 ≤ x ≤ 1, P0(x), P1(x), . . . , Pk(x), . . . , em que Pk(x) tem grau k; veja o Problema 7. Suponha, além disso, que Pk(x) é normalizada pela condição Pk(1) = 1. Encontre P0(x), P1(x), P2(x) e P3(x). Note que esses são os quatro primeiros polinômios de Legendre (veja o Problema 24 da Seção 5.3).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada. Para a função, temos que:

∫ P 0 x P 1 x d x = 0

∫ P 0 x P 2 x d x = 0

∫ P 2 x P 1 x d x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

P 0 x = 1

P 1 x = x

P 2 x = 3 x 2 - 1 2

P 3 x = 5 x ³ - 3 x 2

Resposta

P 0 x = 1

P 1 x = x

P 2 x = 3 x 2 - 1 2

P 3 x = 5 x ³ - 3 x 2

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