Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.1 - Ex. 24b
Vamos considerar agora um problema de autovalores de ordem mais alta. A análise das vibrações transversas de uma barra elástica uniforme se baseia na equação diferencial
em que é o deslocamento transversal ; é a massa por unidade de comprimento da barra, é o módulo de Young,é o momento de inércia da seção reta em relação a um eixo perpendicular ao plano de vibração que contém o centroide, e é a frequência de vibração. Então, para uma barra cujas propriedades materiais e geométricas são dadas, os autovalores determinam as frequências naturais de vibração. As condições de contorno em cada extremidade são, em geral, de um dos seguintes tipos:
Para cada um dos três casos a seguir, encontre a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores desse problema de valores de contorno de quarta ordem. Determine e , os dois autovalores de menor módulo. Suponha que os autovalores são reais e positivos.
Passo 1
Poxa, a primeira coisa a se fazer aqui, certamente é encontrar o protótipo de soluções da EDO:
Usando a equação característica:
Resolvendo essa equação...
As raízes dessa equação podem então ser determinadas usando Euler para a representação dos números complexos:
Ou...
Fazendo variar de a , vamos determinar todas as raízes dessa equação que serão:
Dado duas raízes reais e duas complexas conjugadas, a solução da EDO será:
Onde , , e são constantes a determinar através das condições iniciais .
Passo 2
Vamos começar trabalhando com as duas condições referentes ao ponto inicial:
SHOW! Então derivando uma vez...
E derivando novamente, obteremos...
Substituindo então o ponto :
Pegando essa equação e comparando com a equação de cima, essa daqui oh:
Concluímos que:
E portanto...
Passo 3
Agora vamos utilizar as demais condições:
Usando a primeira condição e substituindo o que é por ...
Agora usando a segunda condição e substituindo o que é por , mas na derivada primeira que encontramos no passo anterior...
Somando então a primeira equação com a segunda , obteremos...
O que está dentro dos parênteses com certeza não é porque a exponencial não é, então deve ser . Como é igual a ...
SHOW! Então o que sobra pra gente é:
Como queremos
Dividindo todo mundo por cosseno...
Essa então é a equação que define os nossos autovalores, como pedido no problema. A autofunção é será:
Com obtidos coma nossa equação . Os dois primeiro valores de podem ser obtidos comparando o exemplo 1 do capítulo de nosso querido Boyce:
Onde nesse caso
No nosso caso...
Podemos aproximar para , no caso de pequeno...
Então...