Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 51a
Suponha que a região entre o eixo e a curva com gire em torno do eixo .
(a) Encontre o volume do sólido que é gerado.
(b) Encontre a área da superfície do sólido.
Passo 1
(a)Pra determinarmos o volume de um sólido de revolução, podemos usar a seguinte fórmula:
Nesse caso, podemos considerar nossa e , que não é explicitamente dada, vai equivaler a , já que se limita a rotação ao eixo .
Considerando o intervalo de integração desde a infinito, temos então:
Passo 2
Resolvemos a integral diretamente:
Como essa é uma integral imprópria, devemos reescrever seu resultado na forma de um limite, da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e determinar o resultado da integral, que nos dará o volume do sólido.
Temos:
Calculamos o limite aplicando diretamente em :
A função exponencial quando elevada a um número infinitamente pequeno tende a zero. Temos portanto:
Resposta
(a)