Suponha que a região entre o eixo x e a curva y = e - x com x ≥ 0 gire em torno do eixo x .(a) Encontre o volume do sólido que é gerado.(b) Encontre a área da superfície do sólido.

Enunciado

(a)Pra determinarmos o volume de um sólido de revolução, podemos usar a seguinte fórmula:

Nesse caso, podemos considerar nossa e , que não é explicitamente dada, vai equivaler a , já que se limita a rotação ao eixo .

Considerando o intervalo de integração desde a infinito, temos então:

Resolvemos a integral diretamente:

Como essa é uma integral imprópria, devemos reescrever seu resultado na forma de um limite, da seguinte forma:

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e determinar o resultado da integral, que nos dará o volume do sólido.

Temos:

Calculamos o limite aplicando diretamente em :

A função exponencial quando elevada a um número infinitamente pequeno tende a zero. Temos portanto:

(a)