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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 25

Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ 0 ∞ e - y d y

Vamos usar as regras apresentadas na seção para tentar calcular o valor da integral, então, aplicando o limite, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - y d y

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar o método da substituição fazendo u = y → d u = [ 1 / ( 2 y ) ] d y , então, subsituindo esses valores, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - y d y = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - u ( 2 y d u ) = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - u 2 u d u

Agora, devemos aplicar a técnica de integração por partes na integral resultante, escolhendo U = 2 u e d V = e - u d u

d U = 2 d u

V = - e - u

Então, a integral anterior se torna:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - u 2 u d u = lim t → ∞ ⁡ - 2 u e - u 0 t + ∫ 0 t 2 e - u d u

Passo 3

Agora podemos resolver a integral que restou:

lim t → ∞ ⁡ - 2 u e - u 0 t + ∫ 0 t 2 e - u d u = lim t → ∞ ⁡ - 2 t e - t + - 2 e - u 0 t

Substituindo os valores do limite de integração, temos:

lim t → ∞ ⁡ - 2 t e - t + - 2 e - u 0 t = lim t → ∞ ⁡ - 2 t e t - 2 e t + 2

Vamos utilizar a propriedade da soma dos limites e dividir esse limite em três partes:

lim t → ∞ ⁡ - 2 t e t - lim t → ∞ ⁡ 2 e t + lim t → ∞ ⁡ 2

Agora, vamos aplicar L’Hospital no primeiro limite:

lim t → ∞ ⁡ - 2 t e t = lim t → ∞ ⁡ - 2 1 2 t 1 2 t e t = lim t → ∞ ⁡ - 2 e t

Então, reescrevendo o limite anterior, temos:

lim t → ∞ ⁡ - 2 t e t - lim t → ∞ ⁡ 2 e t + lim t → ∞ ⁡ 2 = lim t → ∞ ⁡ - 2 e t - lim t → ∞ ⁡ 2 e t + lim t → ∞ ⁡ 2

E então substituindo o valor para t :

lim t → ∞ ⁡ - 2 e t - lim t → ∞ ⁡ 2 e t + lim t → ∞ ⁡ 2 = 0 - 0 + 2 = 2

Resposta

∫ 0 ∞ e - y d y = 2

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