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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 23

Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ - ∞ 0 z z 4 + 4 d z

Vamos usar as regras apresentadas na seção para tentar calcular o valor da integral, então, aplicando o limite, temos:

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 z z 4 + 4 d z

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar o método da substituição fazendo u = z 2 → d u = 2 z d z , então, subsituindo esses valores, temos:

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 1 2 1 u 2 + 4 d u = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ∫ t 0 1 u 2 + 4 d u

Passo 3

Agora podemos resolver a integral, lembrando que essa é uma integral trigonométrica:

lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ∫ t 0 1 u 2 + 4 d u = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 1 2 tan - 1 ⁡ u 2 t 0

Substituindo o valor de u = z 2 :

lim t → - ∞ ⁡ 1 2 1 2 tan - 1 ⁡ u 2 t 0 = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 1 2 tan - 1 ⁡ z 2 2 t 0

Substituindo os valores do limite de integração, temos:

lim t → - ∞ ⁡ 1 2 0 - 1 2 tan - 1 ⁡ t 2 2 = lim t → - ∞ ⁡ - 1 4 tan - 1 ⁡ t 2 2

E então substituindo o valor para t :

lim t → - ∞ ⁡ - 1 4 tan - 1 ⁡ t 2 2 = - 1 4 π 2 = - π 8

Resposta

∫ - ∞ 0 z z 4 + 4 d z = - π 8

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