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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 22

Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x

Vamos usar as regras apresentadas na seção para tentar calcular o valor da integral, então, aplicando o limite, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de integração por partes, fazendo u = ln ⁡ x e d v = ( 1 / x 2 ) d x , então, dessa forma, temos:

d u = 1 x

v = - 1 x

Então, reescrevendo a integral do passo 1, temos:

∫ 1 t ln ⁡ x x 2 d x = ln ⁡ x - 1 x - ∫ - 1 x 1 x d x = - ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x

Então, resolvendo a segunda integral, temos:

∫ 1 t ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x - 1 x

Passo 3

Agora podemos resolver a integral:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ x x - 1 x 1 t

Substituindo os valores do limite de integração, temos:

lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ t t - 1 t + 1

Usando a propriedade de soma dos limites, podemos separar o limite em três partes:

lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ t t - lim t → ∞ ⁡ - 1 t + lim t → ∞ ⁡ 1

Agora, vamos aplicar L´Hospital no primeiro limite:

lim t → ∞ ⁡ - 1 t 1 - lim t → ∞ ⁡ - 1 t + lim t → ∞ ⁡ 1

E então substituindo os valores para t :

lim t → ∞ ⁡ - 1 t 1 - lim t → ∞ ⁡ - 1 t + lim t → ∞ ⁡ 1 = 0 - 0 + 1 = 1

Resposta

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 1

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