Suponha que f seja diferenciável em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

12.Se f(1) > 0 então f será crescente em [0, 2] .

Passo 1

Não necessariamente! Peguemos alguns exemplos de funções em que f ( 1 ) seja maior que 0:

f x = x :

Onde f 1 = 1 , que é maior que 0, e f é crescente no intervalo [ 0 ,   2 ] . Outro exemplo:

f x = 2 - x :

Onde f 1 = 1 , também, e agora f é decrescente, no mesmo intervalo.

Passo 2

Assim, nossa conclusão é que a afirmação não é necessariamente verdadeira, por existirem exemplos a favor e contra ela. Logo, consideraremos como falsa.

Resposta

Falsa.

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Demonstre que funções crescentes e decrescentes são injetoras. Ou seja, demonstre que, para quaisquer x₁ e x₂ em I, x1 ≠ x2 implica f(x_2) ≠ f(x_1)
Use os resultados do Exercício 81 para mostrar que a função apresenta inversa em seu domínio. Determine uma fórmula para d(f^(-1)) / dx usando o Teorema 3 da Seção 3.8.f(x) = 1 - 8 * x^3
Use os resultados do Exercício 81 para mostrar que a função apresenta inversa em seu domínio. Determine uma fórmula para d(f^(-1))/dx usando o Teorema 3 da Seção 3.8.f(x) = (1 - x)^3
Use os resultados do Exercício 81 para mostrar que a função apresenta inversa em seu domínio. Determine uma fórmula para f^(-1) / dx usando o Teorema 3 da Seção 3.8.f(x) = (1 / 3)x + (5 / 6)
Use os resultados do Exercício 81 para mostrar que a função apresenta inversa em seu domínio. Determine uma fórmula para d(f^(-1)) / d(x) usando o Teorema 3 da Seção 3.8.f(x) = 27 * x^3