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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 29

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) (e^x + x)^((1)/(x))

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> 0)(lim) e x p ( l n (e^x + x)^((1)/(x)) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente (1)/(x) .

Ficamos então com:

underset(x -> 0)(lim) e^((1)/(x) ln (e^x + x))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ln (e^x + x))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponenciaol, podemos reescrever esse ln como:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ln (e^x + x)

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ( ln (e^x) + l n ( e^(- x) x + 1 ) )

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ( x + l n ( e^(- x) x + 1 ) )

1 + underset(x -> 0)(lim) (ln (e^(- x) x + 1))/(x)

Passo 3

Aplicando agora a regra de L’Hopital temos:

underset(x -> 0)(lim) (ln (e^(- x) x + 1))/(x)

underset(x -> 0)(lim) ((e^(- x) - x e^(- x))/(x e^(- x) + 1))/(1)

underset(x -> 0)(lim) (- ( x - 1 ))/(x + e^x)

Passo 4

Juntando o que temos até agora ficamos com:

e^(1 + underset(x -> 0)(l i m) (- ( x - 1 ))/(x + e^x))

Substituindo o valor do limite ficamos com:

e^(1 - (0 - 1)/(0 + 1)) = e^(1 + 1 )

Resposta

e^2

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