Encontre o limite.

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

lim x → 0 ⁡ e x p ⁡ ( l n e x + x 1 x )

Com isso podemos descer ali aquele expoente 1 x .

Ficamos então com:

lim x → 0 ⁡ e 1 x ln ⁡ e x + x

O exponencial pode sair do limite ficando:

e lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponenciaol, podemos reescrever esse ln como:

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x

lim x → 0 ⁡ 1 x ( ln ⁡ e x + l n ⁡ ( e - x x + 1 ) )  

lim x → 0 ⁡ 1 x ( x ⁡ + l n ⁡ ( e - x x + 1 ) )  

1 + lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e - x x + 1 x  

Passo 3

Aplicando agora a regra de L’Hopital temos:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e - x x + 1 x  

lim x → 0 ⁡ e - x - x e - x x e - x + 1 1  

lim x → 0 ⁡ - ( x - 1 ) x + e x  

Passo 4

Juntando o que temos até agora ficamos com:

e 1 + l i m x → 0 - ( x - 1 ) x + e x

Substituindo o valor do limite ficamos com:

e 1 - 0 - 1 0 + 1   = e 1 + 1  

Resposta

e 2

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