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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 53

Suponha que Δ x   >   0 e que g ( x )   =   A x 2   +   B x   +   C . Seja m um número e defina Y 0   =   g ( m   - Δ x ) ,   Y 1   =   g ( m ) e Y 2   =     g ( m   + Δ x ) . Verifique a Fórmula (11):

∫ m - Δ x m + Δ x g ( x ) d x = Δ x 3 [ Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 ]

Passo 1

Cara, vamos tentar calcular essa integral e vê se chega no lado direito da equação. Vamos lá:

∫ m - Δ x m + Δ x g ( x ) d x = ∫ m - Δ x m + Δ x A x 2   +   B x   +   C d x = A 3 x 3 + B 2 x 2 + C x   | m + Δ x m - Δ x

Usando os extremos de integração:

= A 3 ( m + Δ x ) 3 + B 2 ( m + Δ x ) 2 + C   m + Δ x - A 3 m - Δ x 3 - B 2 m - Δ x 2 - C ( m - Δ x )  

Passo 2

Cara, agora com muita atenção e coragem, a gente vai precisar abrir esses termos e rearrumar para colocar eles em função de Δ x ,   Y 0 ,   Y 1 e Y 2 .

Sendo:

Y 0 =   g m   - Δ x =   A ( m - Δ x ) 2   +   B ( m - Δ x )   +   C

Y 1 = g m = A m 2 + B m + C

Y 2 = g m + Δ x = A ( m + Δ x ) 2   +   B ( m + Δ x )   +   C

E queremos chegar em:

Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 = Δ x 3 [   A m - Δ x 2   +   B ( m - Δ x )   +   C +

+ 4 A m 2 + 4 B m + 4 C + A ( m + Δ x ) 2   +   B ( m + Δ x )   +   C ]  

Passo 3

Vamos partir para as continhas:

A 3 m + Δ x 3 + B 2 m + Δ x 2 + C   m + Δ x - A 3 m - Δ x 3 - B 2 m - Δ x 2 - C m - Δ x =

= A 3 m 3 + 3 m 2 Δ x + 3 m Δ x 2 + Δ x 3 + B 2 m 2 + 2 m Δ x + Δ x 2 + C m + C Δ x -

- A 3 m 3 - 3 m 2 Δ x + 3 m Δ x 2 - Δ x 3 - B 2 m 2 - 2 m Δ x + Δ x 2 - C m + C Δ x =

Agora umas coisinhas cortam e fica melhor:

2 A m 2 Δ x + 2 3 A Δ x 3 + 2 B m Δ x + 2 C Δ x =

= Δ x ( 2 A m 2 + 2 3 A Δ x 2 + 2 B m + 2 C )

Passo 4

Vamos fazer umas manobras para chegar no resultado que a gente quer. Primeiro, vamos dividir e multiplicar tudo por 3 :

= Δ x 3 ( 6 A m 2 + 2 A Δ x 2 + 6 B m + 6 C )

Agora vamos somar alguns termos dentro do parênteses dessa expressão, só para reescrever, sem modificar:

= Δ x 3 6 A m 2 + 2 A Δ x 2 + 6 B m + 6 C + 2 A m Δ x - 2 A m Δ x + B Δ x - B Δ x =

= Δ x 3 ( A m 2 - 2 A m Δ x + A Δ x 2 + B m - B Δ x + C + 4 A m 2 + 4 B m + 4 C +

+ A m 2 + 2 A m Δ x + A Δ x 2 + B m + B Δ x + C )

= Δ x 3 ( A m - Δ x 2 + B m - Δ x + C + 4 A m 2 + 4 B m + 4 C + A m + Δ x 2 +

+ B m + Δ x + C )

Ih chegamos exatamente na expressão que a gente queria. Podemos reescrever:

= Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2

Ufa! Conseguimos!

Resposta

Prova nos passos

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