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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 28

Suponha que f e g sejam contínuas em a , b e deriváveis em ( a , b ) . Suponha também que f a = g ( a ) e f ' x < g ' ( x ) para a < x < b . Prove que f b < g ( b ) . [Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio para a função h = f - g .]

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😁

Nesse problema foram dadas duas funções f e g sendo que elas são contínuas em a , b e deriváveis em ( a , b ) .

Supondo também que f a = g ( a ) e f ' x < g ' ( x ) para a < x < b temos que provar que f b < g ( b ) .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

No próprio enunciado, o problema nos indicou usar o teorema do valor médio para uma função fictícia h = f - g .

O teorema do valor médio diz que seja uma função f contínua em um intervalo fechado a , b e derivável no intervalo aberto a , b , então há um valor de c tal que

f ' c = f b - f a b - a

Saca só! 😉

Passo 2

Temos que h = f - g , então, desde que f e g forem contínuas em [ a , b ] e deriváveis em ( a , b ) , h também será, e isso satisfaz as suposições do Teorema do Valor Médio.

Vamos substituir f por h ...

h ' c = h b - h a b - a

Se h = f - g , então

h ' c = f b - g b - f a - g a b - a

Foi dito que f a = g a ...

h ' c = f b - g b b - a

Ou seja

f b - g b = h ' c b - a

Vamos guardar essa informação!

Passo 3

Vamos continuar o desenvolvimento da equação como se g a ≠ f a ...

h ' c = f b - f a - g b - g a b - a

Mas o que é f b - f a e g b - g a ?

f b - f a = f ' c b - a

g b - g a = g ' c b - a

Substituindo em h ' c

h ' c = f ' c b - a - g ' c b - a b - a

h ' c b - a = f ' c b - a - g ' c b - a

Lembra que guardamos uma equação no passo anterior?

f b - g b = h ' c b - a

Vamos substituir na equação que acabamos de encontrar...

f b - g b = h ' c b - a = f ' c b - a - g ' c b - a

f b - g b b - a = f ' c - g ' c

For dito que f ' x < g ' x , logo.

f ' x - g ' x < 0

Ou seja

f ' c - g ' c < 0

f b - g b b - a = f ' c - g ' c < 0

f b - g b b - a < 0

Simplificando...

f b - g b < 0

f b < g b

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

f b < g b

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