Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 34
Use o método do Exemplo 6 para demonstrar a identidade
.
Passo 1
Opa, bora lá! Aqui temos a seguinte identidade trigonométrica:
Temos que provar que essa igualdade é verdadeira usando o método do exemplo 6! Ele se baseia em que, se:
Para todo no intervalo , então:
Onde é uma constante em .
Na prática a gente vai derivar:
Vamos verificar que suas derivadas são iguais e que:
Depois pegamos um valor aleatório dentro do domínio de onde e calculamos:
Se , então provamos nossa igualdade! Bora lá?!
Passo 2
Podemos dizer que:
Vamos derivar, temos tabelado que:
Então:
Para calcular vamos usar a regra da cadeia:
Onde:
Ficamos com a função:
Lembrando que:
Então:
Vamos dar uma arrumadinha:
Temos que:
Então:
Chegamos em:
Passo 3
Podemos perceber que:
Então:
Essa relação é valida para , além disso o denominador deve ser positivo, então:
Então temos que para todo , então, em .
Passo 4
Para encontrar , suporemos um , portanto:
Assim provamos que:
Resposta
Demonstração.