Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 24
(a) Suponha que seja derivável em e tenha duas raízes. Mostre que tem pelo menos uma raiz.
(b) Suponha que seja duas vezes derivável em e tenha três raízes. Mostre que tem pelo menos uma raiz real.
(c) Você pode generalizar os itens (a) e (b)?
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... a questão nos faz três questionamentos sobre uma função qualquer e suas derivadas.
Vamos fazer um por um que aí a gente vai construindo a resolução, belezinha??
Na primeira pergunta a questão quer que mostremos que a derivada tem pelo menos uma raiz, dado que a função seja derivável em e tenha duas raízes.
Para isso, vamos supor que:
com .
e aplicando o Teorema de Rolle em no intervalo , há um número tal que e .
Em outras palavras, se uma função é contínua em um intervalo fechado, diferenciável em seu interior e assume os mesmos valores nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a derivada é zero!!
Assim, haverá pelo menos uma raiz!!
Passo 2
Na segunda pergunta a questão quer que mostremos que a derivada segunda tem pelo menos uma raiz real, dado que seja duas vezes derivável em e tenha três raízes.
Para isso, vamos supor que:
com .
Aplicando o Teorema de Rolle em nos intervalos e , há números e com .
Aplicando o Teorema de Rolle novamente em no intervalo , há um número tal que e
Assim, de forma análoga a primeira pergunta, temos que tem pelo menos uma raiz real!!
Passo 3
Por fim, na última pergunta, a questão quer saber se a gente pode generalizar as duas primeiras perguntas.
Em outras palavras, a questão quer saber se aquilo que abordamos vale para a terceira derivada, a quarta, a quinta... e assim sucessivamente.
Para isso, temos que supor que é derivável vezes em e tem raízes reais distintas.
Com isso, tem pelo menos uma raiz real (também aplicando o Teorema de Rolle!!!).
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
Demonstração