A função

f(x) = { x, 0 ≤ x < 1; 0, x = 1 }

é zero em x = 0 e x = 1 , e derivável em (0, 1) , mas sua derivada em (0, 1) nunca é zero. Como isso é possível? O teorema de Rolle não diz que a derivada tem que ser zero em algum ponto em (0, 1) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para que o teorema de Rolle seja aplicável e tenhamos uma f ’ c = 0 , precisamos que a f ( x ) seja:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Analisando os limites da função no ponto em que a função muda, temos que:

lim x → 1 - ⁡ x = 1

lim x → 1 + ⁡ 0 = 0

Como o resultado dos limites laterais é diferente entre si, temos uma descontinuidade no ponto x = 1 .

Resposta

O teorema de Rolle não é aplicável, uma vez que temos uma descontinuidade em x = 1 .

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