Suponha que f(x) e g(x) sejam polinômios em x o gráfico de f(x) / g(x) possuirá uma assíntota se g(x) nunca for zero? Justifique sua resposta.

Passo 1

O primeiro passo é lembrar as possibilidades de assíntotas que f x g x pode ter. Sabemos que existem três tipos de assíntotas :verticais, horizontais e oblíquas. E encontramos cada uma delas através do limite.

Para encontrar as assíntotas horizontais precisamos l i m x → ± ∞   h ( x ) = c , onde c é uma constante, ou seja, um número.

Já para encontrar as assíntotas verticais precisamos l i m x → a -   h x = l i m x → a +   h x =   ± ∞ , onde a é ponto no eixo x escolhido para se calcular o limite . Se h ( x ) fosse uma divisão de polinômios a   seria o valor que zera o denominador.

No caso das assíntotas oblíquas sua identificação é simples, precisamos apenas olhar para o numerador e caso ele tenha 1 grau a mais que o grau do denominador então a h ( x ) possuirá uma assíntota obliqua. Já para determina-la precisamos somente dividir o numerado pelo denominador para expressar h ( x ) como uma função de linear (grau um) mais um resto que é igual a zero quando x → ± ∞ .

Passo 2

O segundo passo é utilizar o fato que g ( x ) nunca é zero, ou seja, independente do x que substituímos na função, o denominador nunca irá se anular. Com isso, podemos concluir que f x g x não possui nenhuma assíntota vertical, mas nada garante que ela não possa ter assíntotas horizontais ou oblíquas de acordo com a definição.

Resposta

Sim, f x g x pode ter assíntotas horizontais ou oblíquas.

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