Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 82
Suponha que seja uma série convergente. Demonstre que é uma série divergente.
Passo 1
Fala aí, galerinha!
O enunciado nos diz que a série converge. E quer que demonstremos que diverge.
Bem, pelo teste do termo geral, se a série converge, podemos dizer que seu limite do seu termo geral é zero:
Sendo assim, pra provar que diverge, precisamos calcular seu limite:
e encontrar um valor diferente de zero!
Pra isso, vamos usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Sabemos que o limite do quociente é igual ao quociente dos limites:
O denominador é nulo, como a gente já falou no enunciado. E pro numerador, temos que lembrar que limite de constante é igual a própria constante:
E qualquer valor finito dividido por zero NO LIMITE, é igual a infinito.
Logo a série diverge porque já que quando o limite vai ser diferente de zero, o que desobedece o teste do termo geral e a série diverge.
Resposta
Se , então .