Enunciado

No Exemplo 9 mostramos que a série harmônica é divergente. Aqui, esboçamos outro método, que faz uso do fato de que para qualquer e x > 1 + x para qualquer x > 0 . (Veja o Exercício 4.3.76, no Volume I.)

Se s n for a n -ésima soma parcial da série harmônica, mostre que e s n > n + 1 . Por que isto implica que a série harmônica é divergente?

Passo 1

Fala aíííííí!

O enunciado nos fala que s n é a n -ésima soma parcial da série harmônica, e queremos provar isso aqui:

e s n > n + 1

Mas já sabemos que a soma da série harmônica é:

s n = 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

Logo

e s n = e 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

Aplicando a propriedade e a + b = e a e b

e s n = e 1 e 1 2 e 1 3 … e 1 n

Agora vamos provar que e s n > n + 1 , usando e x > 1 + x . Vamos abrir isso pra vários valores de x e provar o que precisamos.

Passo 2

Temos:

e s n = e 1 e 1 / 2 e 1 / 3 … e 1 / n

Vamos usar e x > 1 + x , nas exponenciais multiplicando,

e 1 > 1 + 1

e 1 2 > 1 + 1 2

e assim por diante.

Como usaremos isso? Sabemos que e x > 0 para todo x real, e sabemos que n ≥ 1 na série harmônica, então como todos os termos são positivos, podemos afirmar que

e s n = e 1 e 1 / 2 e 1 / 3 … e 1 n > 1 + 1 1 + 1 2 1 + 1 3 … 1 + 1 n

e s n > 2 1 3 2 4 3 … n + 1 n  

Dá pra perceber que o numerador de cada fração se cancela com o denominador da próxima, sobrando somente o numerador da última

e s n > n + 1

Passo 3

Como isso implica na divergência da série harmônica? Para descobrir, primeiramente vamos isolar a soma da série na inequação aplicando o logaritmo

e s n > n + 1

s n > ln ⁡ ( n + 1 )

Para saber o valor da série, teríamos que aplicar o limite no s n

lim n → ∞ ⁡ s n > l i m n → ∞ ln ⁡ ( n + 1 )

O limite da direita nós sabemos calcular

lim n → ∞ ⁡ s n > ∞

Então o limite da direita diverge, e temos que o lim n → ∞ ⁡ s n é maior que l i m n → ∞ ln ⁡ ( n + 1 ) , se o menor diverge e estamos falando de valores positivos, o da esquerda também diverge, consequentemente a série harmônica diverge.

Resposta

Prova.

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