Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 77
No Exemplo 9 mostramos que a série harmônica é divergente. Aqui, esboçamos outro método, que faz uso do fato de que para qualquer para qualquer . (Veja o Exercício 4.3.76, no Volume I.)
Se for a -ésima soma parcial da série harmônica, mostre que . Por que isto implica que a série harmônica é divergente?
Passo 1
Fala aíííííí!
O enunciado nos fala que é a -ésima soma parcial da série harmônica, e queremos provar isso aqui:
Mas já sabemos que a soma da série harmônica é:
Logo
Aplicando a propriedade
Agora vamos provar que , usando . Vamos abrir isso pra vários valores de e provar o que precisamos.
Passo 2
Temos:
Vamos usar , nas exponenciais multiplicando,
e assim por diante.
Como usaremos isso? Sabemos que para todo real, e sabemos que na série harmônica, então como todos os termos são positivos, podemos afirmar que
Dá pra perceber que o numerador de cada fração se cancela com o denominador da próxima, sobrando somente o numerador da última
Passo 3
Como isso implica na divergência da série harmônica? Para descobrir, primeiramente vamos isolar a soma da série na inequação aplicando o logaritmo
Para saber o valor da série, teríamos que aplicar o limite no
O limite da direita nós sabemos calcular
Então o limite da direita diverge, e temos que o é maior que , se o menor diverge e estamos falando de valores positivos, o da esquerda também diverge, consequentemente a série harmônica diverge.
Resposta
Prova.