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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 18d

Suponha que

sum_(k = 1)^n a_k = 0

e

sum_(k = 1)^n b_k = 1

Determine os valores de

d.

sum_(k = 1)^n ( b_k - 1 )

Passo 1

O exercício pede para que a gente calcule o valor da somatória dada.

sum_(k = 1)^n ( b_k - 1 )

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

sum_(k = 1)^n (b_k - 1) = ( b_1 - 1 ) + (b_2 - 1) + (b_3 - 1) + ... + ( b_n - 1 )

Olha só, b_k são números reais, então eles são comutativos, ou seja, a gente pode reorganizar essa soma da seguinte forma.

sum_(k = 1)^n ( b_k + 1 ) = ( b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n ) + ( - 1 - 1 - 1 - ... - 1 )

Repare que podemos colocar o sinal negativo em evidência

sum_(k = 1)^n ( b_k + 1 ) = ( b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n ) - ( 1 + 1 + 1 + ... + 1 )

Agora vamos podemos organizar em duas somatórias

sum_(k = 1)^n ( b_k - 1 ) = sum_(k = 1)^n b_k - sum_(k = 1)^n 1

Passo 3

Mas o enunciado nos dá que

sum_(k = 1)^n b_k = 1

e sabemos também que

sum_(k = 1)^n 1 = n

Pois estamos somando n termos de valor 1

Então temos

sum_(k = 1)^n ( b_k - 1 ) = sum_(k = 1)^n b_k - sum_(k = 1)^n 1 = 1 - n

Resposta

O resultado da somatória é 1 - n .

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