Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?

(a) ∑ a n também é divergente(b) Nada pode-se inferir sobre ∑ a n

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 2

Suponha que e sejam séries com termos positivos e que seja divergente.

(a) Se para todo , o que você pode dizer de ? Por quê?

(b)Se para todo , o que você pode dizer de ? Por quê?

Passo 1

Então pessoal, a questão nos pede para raciocinar sobre algumas situações hipotéticas e explicar o que acontece em cada uma das situações. Essas situações estão relacionadas a dizer sobre a divergência/convergência de uma série a partir do conhecimento obtido de outra série.Ou seja, há uma forte sugestão de comparação. Então vamos nos recordar quais são os teoremas do teste da comparação?

Lembre-se do seguinte:Se e são séries com termos positivos, duas afirmações são verdadeiras.

Se for convergente e . Então será convergente.
Se for divergente e . Então será divergente.

Passo 2

Então, galera... Agora que já temos o conhecimento necessário, vamos analisar as situações.(a) Pelo item do teorema do teste da comparação, fica fácil perceber que se diverge e . Então também diverge. Simples assim.

Passo 3

(b) Esse segundo caso, quer saber sobre , quando . Perceba pelo teorema do teste da comparação que se fosse convergente teríamos certeza que também converge.Porém, o enunciado diz que diverge. De modo que é impossível concluir qualquer coisa sobre .