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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 25

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (e^n + 1)/(n e^n + 1)

Passo 1

Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação de limite. Suponha que sum a_n (a série em questão) e sum b_n (a série para comparação) sejam séries com termos positivos. Se

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

onde c é um número finito e c > 0 , então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. O uso desse teste é necessário quando não temos certeza sobre o quão grande ou pequeno pode ficar o valor da série original. Na nossa questão temos somas no numerador e denominador, causando essa dúvida.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

a_n = sum_(n = 1)^(oo) (e^n + 1)/(n e^n + 1)

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

b_n = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n)

Montando o limite do teste de comparação de limite, temos:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((e^n + 1)/(n e^n + 1))/((1)/(n))

underset(n -> oo)(lim) (e^n + 1)/(n e^n + 1) * n = underset(n -> oo)(lim) (n e^n + n)/(n e^n + 1)

Vamos aqui dividir o numerador e o denominador por n e^n . Assim,

underset(n -> oo)(lim) ((n e^n + n)/(n e^n))/((n e^n + 1)/(n e^n)) = underset(n -> oo)(l i m) (1 + (1)/(e^n))/(1 + (1)/(n e^n)) = (1 + 0)/(1 + 0) = 1 != 0

Como a série sum_(n = 1)^(oo) 1 // n é uma série p, com p = 1 , ela é divergente! Logo, pelo teste de comparação de limite, a série sum_(n = 1)^(oo) (e^n + 1)/(n e^n + 1) é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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