Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ e n + 1 n e n + 1

Passo 1

Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação de limite. Suponha que ∑ a n (a série em questão) e ∑ b n (a série para comparação) sejam séries com termos positivos. Se

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

onde c é um número finito e c > 0 , então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. O uso desse teste é necessário quando não temos certeza sobre o quão grande ou pequeno pode ficar o valor da série original. Na nossa questão temos somas no numerador e denominador, causando essa dúvida.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

a n = ∑ n = 1 ∞ e n + 1 n e n + 1

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Montando o limite do teste de comparação de limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 n e n + 1 1 n

lim n → ∞ ⁡ e n + 1 n e n + 1 ⋅ n = lim n → ∞ ⁡ n e n + n n e n + 1

Vamos aqui dividir o numerador e o denominador por n e n . Assim,

lim n → ∞ ⁡ n e n + n n e n n e n + 1 n e n = l i m n → ∞ 1 + 1 e n 1 + 1 n e n = 1 + 0 1 + 0 = 1 ≠ 0

Como a série ∑ n = 1 ∞ 1 / n é uma série p, com p = 1 , ela é divergente! Logo, pelo teste de comparação de limite, a série   ∑ n = 1 ∞ e n + 1 n e n + 1 é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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