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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 45

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que

∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos diz que há uma função do tipo z = f ( x ,   y ) onde x = x ( r , θ ) e y = y ( r , θ ) e pede para que provemos o seguinte:

∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2

Certo, mas como fazemos isso sem nem ter a função z definida?

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = x ( r , θ ) e y = y ( r , θ ) , a derivada d z / d r pode ser definida como:

∂ z ∂ r =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

E a derivada d z / d θ pode ser definida como:

∂ z ∂ θ =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ

Nós não podemos calcular ∂ z / ∂ x ou ∂ z / ∂ y mas veja que esses termos aparecem nessas fórmulas! Então vamos substituir ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ na expressão da questão e ver o que podemos fazer!

Passo 2

Vamos começar definindo as derivadas de x e y nas variáveis r e θ !

Seja

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então vamos ter

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

Com esses dados, vamos definir a derivada parcial de z em função de r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Elevando ao quadrado igual na expressão do enunciado

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + 2 ∂ z ∂ x cos ⁡ θ ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Da mesma forma, agora vamos definir a derivada parcial de z em função de θ

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

Aqui a gente pode colocar o r em evidencia! Elevando os dois lados ao quadrado para obtermos o mesmo termo do enunciado

∂ z ∂ θ = r - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ

∂ z ∂ θ 2 = r 2 ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ - 2 ∂ z ∂ x sen ⁡ θ ∂ z ∂ y cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

∂ z ∂ θ 2 = r 2 ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Dividindo por r 2 igual no enunciado, ficamos com

1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Agora que já temos todos os termos ∂ z ∂ r 2 e 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 podemos somá-los igual proposto no enunciado!

Antes disso, perceba que os termos ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ dessas duas equações se cancelam, de forma que temos o seguinte

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

Agrupando os termos semelhantes

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Utilizando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 nós temos

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2

Que é exatamente a equação proposta no enunciado! Expressão provada

Resposta

A expressão

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2

É valida, como mostrado nos passos anteriores.

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Suponha que f é uma função diferenciável de x e y , e g u , v = f ( e u + s e n v , e u + c o sv ) . Use a tabela de valores para determinar g u ( 0,0 ) e g v ( 0,0 ) .