Enunciado

Suponha que todos os autovalores são reais.

Estime λn para valores grandes de n.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

Para λ =   - μ ²

y = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sin ⁡ μ x

c 1 = - μ c 2

y = - μ cos ⁡ μ x + sin ⁡ μ x

- μ cos ⁡ μ x + sin ⁡ μ x = 0

μ n = tan ⁡ μ n

ϕ n x = - μ n cos ⁡ μ n x + sin ⁡ μ n x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

λ n =   - μ n 2 =   - 2 n + 1 2 2 π ²

Resposta

λ n =   - 2 n + 1 2 2 π ²

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