Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.10 - Ex. 23
Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de , construindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a de altura?
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.
Bom, ele nos diz que a pilha de cascalhos tem forma de cone com altura igual ao seu diâmetro, e nos pede a velocidade que a altura está crescendo para quando já tem de altura.
Parece complicado?
Bom... a pilha de cascalho cresce a uma taxa volumétrica de , então podemos desenvolver uma função de volume em relação a altura para derivar em relação ao tempo.
Dessa forma, como a derivada de algo em relação ao tempo é o mesmo que a taxa de variação desse algo em relação ao tempo podemos substituir os valores dados no enunciado para obter a taxa de variação da altura .
Veja só!
Passo 2
Nosso primeiro passo vai ser achar o volume desse cone...
Existe uma fórmula de volume de um cone dada por
Mas no nosso caso, já que o diâmetro da base é igual a altura. Logo...
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora, para determinar a variação de altura com o tempo, derivamos nos dois lados com relação a .
é uma função que varia com o tempo, dessa forma, para calcular sua derivada aplicamos a regra da cadeia...
Substituindo em
Estamos interessados no valor de , então isolamos ele em um lado da igualdade
No enunciado, foi dito que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é de e queremos encontrar a variação da altura quando a pilha de cascalho estiver a de altura, ou seja
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!