Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 p é s^3 / min , construindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 p é s de altura?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que a pilha de cascalhos tem forma de cone com altura igual ao seu diâmetro, e nos pede a velocidade que a altura está crescendo para quando já tem 10   p é s de altura.

Parece complicado?

Bom... a pilha de cascalho cresce a uma taxa volumétrica de 30   p é s 3 / m i n , então podemos desenvolver uma função de volume em relação a altura para derivar em relação ao tempo.

Dessa forma, como a derivada de algo em relação ao tempo é o mesmo que a taxa de variação desse algo em relação ao tempo podemos substituir os valores dados no enunciado para obter a taxa de variação da altura h .

Veja só!

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser achar o volume desse cone...

Existe uma fórmula de volume de um cone dada por

V = π r 2 h 3

Mas no nosso caso, r = h 2 já que o diâmetro da base é igual a altura. Logo...

V = π h 2 2 h 3

V = π h 3 12

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, para determinar a variação de altura com o tempo, derivamos nos dois lados com relação a t .

d V d t = d π h 3 12 d t = π 12 d h 3 d t

h é uma função que varia com o tempo, dessa forma, para calcular sua derivada aplicamos a regra da cadeia...

d h 3 d t = 3 h 2 d h d t

Substituindo em d V / d t

d V d t = π 12 3 h 2 d h d t

d V d t = π h 2 4 d h d t

Estamos interessados no valor de d h / d t , então isolamos ele em um lado da igualdade

d h d t = 4 π h 2 d V d t

No enunciado, foi dito que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é de 30   p é s 2 / m i n e queremos encontrar a variação da altura quando a pilha de cascalho estiver a 10   p é s de altura, ou seja

d h d t = 4 π 10 2 30

d h d t = 0,38   p é s / m i n

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

d h d t = 0,38   p é s / m i n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados