Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.10 - Ex. 36
Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma vai para o leste a 3 mi/h e a outra, para o nordeste a 2 mi/h. Quão rápido está variando a distância entre as pessoas após 15 minutos?
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos diz que duas pessoas se despedem e vai cada uma pro seu canto, uma seguindo pro leste e a outra pro nordeste, com suas respectivas velocidades, e nos pede como está variando a distância entre elas depois de 15 minutos da despedida.
Fazendo um esquema do que temos:
Após , a pessoa 1 andou e a pessoa andou , logo:
Repara que aqui não temos triângulos retângulos, portanto, não vamos poder usar Pitágoras, vamos ter que ser um pouco mais espertões aqui.
Mas olha só, sobre um ângulo naquele triângulo a gente tem certeza que é o ângulo de , afinal uma pessoa andou para nordeste e outra para leste.
Podemos usar aqui a lei dos Cossenos, que até parece com Pitágoras, mas tem um termo a mais, se liga:
Passo 2
Nosso primeiro passo vai ser usar a lei dos cossenos. Como existe um ângulo equivalente a 45° entre o leste e o nordeste, temos a seguinte relação:
E como é um valor conhecido, podemos substituir.
Agora, como sabemos que:
Podemos fazer a derivada direta com relação ao tempo.
Substituindo o que temos:
Passo 3
Agora precisamos encontrar o valor de nesse instante, para isso podemos usar a lei dos cossenos do início do Passo 2.
Agora basta substituir na expressão no final do Passo 2 para encontrar .
E pronto, matamos mais essa!