Exercícios de Taxa Relacionada - Lista de Exercícios Resolvida

A voltagem (volts), a corrente (amperes) e a resistência (ohms) de um circuito elétrico (veja a seguir) estão relacionadas entre si pela equação . Suponha que esteja aumentando a uma taxa de , enquanto está diminuindo a uma taxa de . Representaremos o tempo em segundos.

Qual é o valor de ?

Qual é o valor de ?

Qual equação relaciona , e ?

Encontre a taxa com a qual está variando quando e . está aumentando ou diminuindo?

Sejam e funções deriváveis de e seja a distância entre os pontos e no plano .

Como está relacionada a se é constante?

Como está relacionada a e se nem nem são constantes?

Como está relacionada a se 𝑠 é constante?

Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e litros for o volume de água na piscina min após começar o escoamento, onde

,

ache:

A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

Quão rápido a água está fluindo da piscina após o início do escoamento.

Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).

(c)

Os comprimentos dos lados de um retângulo variam com o tempo. Sabe-se que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado.

1. Se a taxa de variação da área é , qual a taxa de variação do menor lado?
2. Se o comprimento da diagonal cresce a , qual a taxa de variação do menor lado?

Dados para (a) e (b): no instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm.

Os comprimentos dos lados de um retângulo variam com o tempo. Sabe-se que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado.

1. Se a taxa de variação da área é , qual a taxa de variação do menor lado?
2. Se o comprimento da diagonal cresce a , qual a taxa de variação do menor lado?

Dados para (a) e (b): no instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm.

Uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação , sendo a distância (em metros) da partícula ao seu ponto de partida, após decorridos segundos da partida.

(a) Calcule a velocidade média da partícula de até .

(b) Calcule a velocidade instantânea da partícula quando

Questão 1.4 - Um recipiente em formato cônico é construído com altura fixa de . A circunferência da base mede com um possível erro de . Dê uma estimativa para o erro no cálculo do volume da peça (use nas contas a aproximação ).

3. (b) Suponha que agora se sabe que o objeto circular que está sendo observado é na verdade a seção transversal de um objeto esférico. Encontre a taxa de variação do volume quando o raio é .

3. (c) Suponha agora que a taxa de variação da área da seção transversal circular é quando o raio é . Encontre a taxa de variação do volume quando o raio é .

No instante horas um veículo está quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada.

(a) Qual a velocidade no instante e qual é o sentido do movimento em relação ao ponto de referência?

(b) Onde está o veículo quando a velocidade é zero?

Na figura abaixo, o segmento mede e é tangente à circunferência de raio no ponto . O ponto é determinado pela interseção da circunferência com o segmento . O ponto inicia um movimento de descida, pela vertical, em direção ao ponto a uma taxa constante de .

A taxa com que se movimenta o ponto , ao longo do arco , depois de segundos do ponto ter iniciado o seu movimento é

:

:

:

:

:

Um caminhão descarrega areia a uma taxa de de tal forma que a areiai descarregada tem um formato de cone em que a altura é igual ao diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura for igual a .

Se dois resistores com resistências e estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total , medida em ohms (, é dada por

Se e estão crescendo a taxas de e , respectivamente, quão rápido estará variando quando e ?

Um barco deixa as docas às e navega para o sul a uma velocidade de . Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de e atinge a mesma doca às .

Determine a velocidade de afastamento entre os dois barcos às.

Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de paralelamente ao solo.

Em um dado instante, um observador situado no solo observa que o ângulo de elevação do avião é de e está aumentando a uma taxa de . Calcule a velocidade do avião.

Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de , enquanto os outros dois diminuem de modo que a área desse retângulo permanece constante e igual a . Determine a taxa de variação do perímetro desse retângulo quando o comprimento dos lados que aumentam é ; .

Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de . Determine a taxa de variação

da sua superfície no instante em que o diâmetro desse balão é igual a .

Um peso está preso a uma das extremidades de uma corda de de comprimento que passa por uma polia situada a acima do solo. A outra extremidade da corda, que se encontra esticada, está presa a um caminhão por um ponto situado acima do solo. Sabendo que o caminhão se afasta horizontalmente a uma velocidade de , determine a taxa de variação da altura do peso no instante em que o mesmo estiver a acima do solo.

O raio de um cilindro circular reto aumenta com velocidade constante. Sua altura é uma função

afim do raio e aumenta 3 vezes mais rápido do que este, de modo que quando o raio mede , a altura mede . No instante em que o raio mede , o volume aumenta a uma razão de . Determine a taxa de variação do volume no instante em que o raio do cilindro mede .

Um reservatório cônico de de profundidade e de diâmetro está recebendo água na razão de . Determine:

b) A taxa de variação da área da superfície da água quando esta estiver a ;

Uma pipa, situada acima do solo, move-se horizontalmente a . Sabendo que a linha se encontra esticada, determine a taxa de variação do ângulo que essa linha faz com a horizontal no instante em que o comprimento da mesma for de .

Considere o ponto deslocando-se sobre o gráfico

, para ,

Onde e são medidos em centímetros. Denotemos por o ponto dado pela interseção do eixo com a reta tangente ao gráfico de no ponto . Sabendo que a coordenada do ponto varia a uma taxa constante de , determine com que taxa estará variando a coordenada do ponto no instante em que as coordenadas do ponto forem .

Os ponteiros de um relógio mede 4 cm e 8 cm e movem-se, cada um com sua velocidade, que é constante. Quando o relógio marca exatamente duas horas, a distância entre as pontas dos ponteiros está diminuindo a uma taxa de:

Um projétil é lançado verticalmente para cima e segundos após o lançamento está metros do solo, onde . Calcule:

1. A altura máxima atingida pelo projétil

Uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação , sendo a distância (em metros) da partícula ao seu ponto de partida, após decorridos segundos da partida.

1. Calcule a velocidade média da partícula de até

Uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação , sendo a distância (em metros) da partícula ao seu ponto de partida, após decorridos segundos da partida.

b) Calcule a velocidade instantânea da partícula quando

Um projétil é lançado verticalmente para cima e segundos após o lançamento está metros do solo, onde . Calcule:

1. A velocidade do projétil segundos após o lançamento

No instante horas um veículo está quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada

1. Qual a velocidade no instante e qual é o sentido do movimento em relação ao ponto de referência?

Uma escada de está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a da parede?

Um ponto move-se sobre a semicircunferência . Suponha . Determine o ponto da curva em que a velocidade de seja o dobro da velocidade de .

Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de . O vértice está a do topo e o raio do topo é de . Com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que ?

Seja definida implicitamente pela equação . Calcule , sabendo que .

O raio de luz de um farol, que está situado a de uma praia reta, faz (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até à praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, no longo da praia, quando ele faz um ângulo de com a linha da praia.

Considere definida implicitamente por . Calcule , sabendo que , .

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a milhas do ponto e se aproxima de à milhas por hora, enquanto o outro está a milhas do ponto e se movendo à milhas por hora, também em direção ao ponto .

1. Antes do ponto , a distância entre os aviões está diminuindo? A que taxa?

Uma câmara de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação , sendo a altura e o tempo. A câmara está a do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, após o lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo).

Um ponto, move-se ao longo da elipse . A abscissa x está variando com velocidade

Mostre que

Um homem se encontra em um barco a remo a 3km da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea que está a 6 km em linha reta do ponto (na costa) mais próximo do barco. Ele rema a 4 km/h e caminha a 5 km/h. Onde ele deve aportar para chegar à cidade do no menor tempo possível.

Um cilindro circular reto é obtido girando-se um retângulo de diagonal constante e igual a em torno de um dos seus lados. Determine a taxa de variação do volume do cilindro no instante que a altura do cilindro é e está aumentando à razão de .

Um tanque cilíndrico com raio está sendo enchido com água a uma taxa de . Qual é a taxa de crescimento da altura da água no tanque?

No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre espécies. Seja o número de tigres de uma região no instante de tempo (medido em anos) e seja o número de antílopes na mesma região no instante . A interação entre essas duas espécies é modelada pelas equações

e ,

Em que e são constantes.

1. Como caracterizar matematicamente a afirmação de que o número de indivíduos das duas espécies é constante ao longo do tempo?
2. Como caracterizar matematicamente a extinção dos antílopes?
3. Considere . Sabendo que as espécies estão convivendo em equilíbrio (isto é, o número de indivíduos é constante ao longo do tempo) e que não estão extintas, determine o número de indivíduos de cada espécie.

É muito comum falarmos em taxa de crescimento usando porcentagens: por exemplo, a população cresce 1% ao ano. Essa medida é uma medida relativa comparada ao seu valor prévio: a população do ano seguinte é 1% maior que a população do ano atual. Apesar de não parecer, essa afirmação pode ser traduzida matematicamente usando a noção de taxa de variação média: se P(t) é a população no ano t, então essa afirmação pode ser escrita como

O denominador da fração do lado esquerdo é , mas colocamos na forma de para ilustrar o quociente que representa a taxa de variação média. E se essa informação da taxa de crescimento relativa não for “média”, mas sim instantânea? Neste caso, o lado esquerdo da igualdade é trocado por e ficamos com

1. Mostre que , em que é a população no instante de tempo , é solução da equação acima.
2. Mostre que , em que é a população no instante de tempo , é solução da equação .
3. Justifique a afirmação: “Em uma população modelada pela função , em que é medido em anos, a taxa de crescimento anual é .”
4. Determine a taxa de crescimento anual de uma população que cresce proporcionalmente ao seu tamanho e que, em anos, saltou de bilhões para bilhões de habitantes

Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de . Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem de altura e o diâmetro no topo é de . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de quando a altura da água for , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.

Uma pedra é jogada de uma altura de . Um foco de luz está colocado também a de altura, a uma distância de da posição inicial da pedra. A altura da pedra após segundos é metros. Com que velocidade se moverá a sombra da pedra sobre o chão segundos após a pedra ser jogada?

Um aluno foi desafiado a chutar uma bola do alto de um prédio com de altura, de modo a atingir o solo com a inclinação de . Sabendo-se que a bola descreve uma trajetória parabólica dada pela equação , onde é a distância percorrida horizontalmente pela bola, é a altura da bola e é a velocidade horizontal aplicada pelo aluno no momento do lançamento, determine o valor de para que o aluno vença o desafio.

Questão 3:

Considere o triângulo retângulo com catetos e . Sabemos que aumenta a uma taxa de , e que a área do triângulo permanece sempre igual a . A que taxa varia a hipotenusa do triângulo, quando ?

A lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão e do volume permanece constante:

Encontre a taxa de variação do volume em relação a pressão.

A lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão e do volume permanece constante:

Uma amostra de gás está em um recipiente a baixa pressão e é regularmente comprimida a temperatura constante por 10 min. O Volume decresce mais rapidamente no início ou final dos 10 minutos. Explique.

Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste a 25 mi/h. A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

5) Um caminhão despeja cimento sobre o solo, que se acumula em um monte da forma de um cone, cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume de cimento aumenta a uma taxa de , a que razão aumenta a área da base do monte formado pelo cimento, quando sua altura é de ?

Um reservatório retangular de largura tem um painel interno que desliza com velocidade de afastamento .

Sabendo-se que num determinado momento, o volume de água do reservatório da esquerda é e está crescendo à taxa de , determine se o nível de água está subindo ou descendo e com que velocidade nos seguintes casos:

a. No instante dado, o reservatório da esquerda tem comprimento

b. O reservatório da esquerda tem comprimento , naquele momento

Um farol, situado a uma distância de de uma muralha, completa voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de:

Um farol, situado a uma distância de de uma muralha, completa voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de:

Um tanque tem de comprimento e sua seção transversal é sempre um triângulo equilátero, conforme a figura abaixo. Está sendo bombeada água para o interior do tanque a uma taxa de . Com que velocidade o nível da água estará subindo quando o conteúdo de água no tanque estiver com de profundidade?

Em uma fazenda de psicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhido regularmente. Um modelo para variação da população é dada pela equação:

Em que é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a porcentagem da população que é colhida.

O que acontece se é elevado a 5%?

O lado de um cubo é medido com um erro máximo possível de 2%. Use diferenciais para estimar o percentagem de erro máximo no volume computado.

Se uma bola de neve derrete de tal forma que sua área de superfície decresce a uma taxa de 1 cm²/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

Em uma fazenda de psicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhido regularmente. Um modelo para variação da população é dada pela equação:

Em que é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a porcentagem da população que é colhida.

Se o pequeno lago pode manter 1000 peixes a taxa de nascimento é 5% e a taxa de colheita é de 4%, encontre o nível estável da população.

Se uma bola de neve derrete de tal forma que sua área de superfície decresce a uma taxa de 1 cm²/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

3. A areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de no topo de uma monte cônico. A altura do monte sempre tem do diâmetro da base. A que taxa irá variar o raio da base quando o monte tiver de altura?

Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação sendo s a altura e t o tempo. A câmera está a 600 m do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmera e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo t = 0).

Considere um cubo inscrito numa esfera. Conforme o lado do cubo aumenta, a esfera também aumenta, de forma que o primeiro esteja sempre inscrito na segunda. Sabendo que o lado do cubo varia a uma taxa de , qual a taxa de variação do volume da esfera quando o cubo alcançar ?

Um ponto move-se ao longo da elipse . A abcissa está variando a uma velocidade . Mostre que

Um balão esférico esta sendo esvaziado a uma taxa de . Encontre a taxa de decrescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a .

Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de . O vértice está a do topo e o raio é de . Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que .

Uma mangueira está enchendo um tanque com água. O tanque tem o formato de um prisma de comprimento cuja base é um triângulo equilátero (ver figura abaixo). Sabendo que a vazão é constante e igual a , determine a taxa de variação da altura da água, no instante em que ela é .

Uma partícula se movimenta ao longo de uma reta real seguindo a função horária dada por , com derivável e unidades no sistema MKS. Supondo , calcule a velocidade da partícula no instante .

Uma pedra caiu dentro de um lago, produzindo uma ondulação circular que cresce a uma velocidade radial de 60 m/s. Encontre a taxa segundo conforme a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de a) 1s b) 3s c) 5s. O que você pode concluir

3. A posição (em metros) de um objeto em função do tempo (em segundos) é dada por . Determine a posição e a velocidade do objeto no instante .

Seja definida implicitamente pela equação . Encontre o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função no ponto .

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a milhas do ponto e se aproxima de à milhas por hora, enquanto o outro está a milhas do ponto e se movendo à milhas por hora, também em direção ao ponto .

b) Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem

para fazer com que um dos aviões mude a sua trajetória?

A produção mensal de papel de uma indústria é dada pela expressão , onde é o número de meses contado a partir de uma certa data e é a quantidade de papel em toneladas. Apresente no máximo duas casas decimais em seus resultados.

Determine a taxa de variação média de produção entre o segundo e o quinto mês.

O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função

Em que é medido em horas. No instante a população é de 20 células e está crescendo a uma taxa de . Encontre os valores de e . De acordo com este modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo?

A produção mensal de papel de uma indústria é dada pela expressão , onde é o número de meses contado a partir de uma certa data e é a quantidade de papel em toneladas. Apresente no máximo duas casas decimais em seus resultados.

Calcule a taxa de variação instantânea em .

Dica: .

Um reservatório de água no formato de um cone circular reto (vértice em baixo) está sendo enchido a uma taxa de . O vértice está a metros do topo e o raio do topo é de metros. Com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que ( medindo de baixo para cima)?

Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3m³/min, de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3m.

A posição de uma partícula sobre uma linha reta graduada em metros no instante segundos é dada por

1. Determine
2. Determine
3. Em quais instantes a partícula está em repouso?
4. Quando a partícula está se movendo para frente? E quando está se movendo para trás?
5. Qual é o deslocamento da partícula entre os instantes e ?
6. Qual é a distância percorrida pela partícula entre os instantes 0 e 5s?
7. Para que valores de tem-se Para quais valores de tem-se Para quais valores de tem-se
8. Quando a partícula está acelerando ou freando?

Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a e o outro para oeste a . A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Um carro A está se movimentando para o oeste a 90km/h e o carro B está se movimentando para o norte a 100 km/h. Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxas os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da interseção?

A Lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade da força exercida por um corpo e massa sobre um corpo de massa é

Em que é a constante gravitacional e é a distância entre os corpos. Calcule e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?

2) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, de modo que a área da região englobada pela onda cresce à taxa de Com que rapizes estará crescendo o raio da onda no instante que este for ? Justifique sua resposta

Uma mulher está andando com uma velocidade de ao longo do diâmetro de um pátio

circular. Uma luz, situada no extremo de outro diâmetro perpendicular ao seu caminho, projeta sua sombra sobre a parede circular do pátio. Determine a velocidade com a qual a sombra da mulher estará se movendo ao longo da parede quando a mulher tiver percorrido do diâmetro do pátio.

7. Uma escada de está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a da parede?

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P como descrito na figura ao lado. Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo a 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P.

1. Antes do ponto P, a distância entre os aviões está diminuindo? A que taxa?
2. Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um avião mude a sua trajetória?

O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função

Em que é medido em horas. No instante a população é de 20 células e está crescendo a uma taxa de . Encontre os valores de e . De acordo com este modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo?

Se dois resistores com resistências e estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total , medida em ohms (, é dada por

Se e estão crescendo a taxas de e , respectivamente, quão rápido estará variando quando e ?

Um funil cônico têm diâmetro de na parte superior e altura de . Se o funil for alimentado à taxa de e tem uma vazão de , determine quão rapidamente está subindo o nível de água quando esse nível for de .

Um ponto move-se sobre o gráfico de , de tal modo que sua abscissa varia a uma velocidade de . Qual a velocidade de no instante em que é igual a ?

2. Um copo de papel tem a forma de um cone de de altura e de raio (no topo). Se for colocada água dentro do copo a uma taxa de , com que rapidez o nível da água se elevará quandro ela tiver de profundidade?

2. A área de um círculo aumenta a uma taxa constante de . Calcule a taxa de variação da sua circunferência quando o raio é igual a .

8. Uma partícula se desloca ao longo da parábola no primeiro quadrante de modo que sua coordenada (medida em metro) aumente a uma velocidade constante de . Qual é a derivada em relação ao tempo do ângulo de inclinação da reta que liga a partícula à origem quando .

Um carro, vindo do norte, aproxima-se de um cruzamento em ângulo reto a uma velocidade de . Ao mesmo tempo, um outro carro, que se situa à leste do cruzamento, afasta-se a uma velocidade de . Determine a taxa de variação da distância entre os dois carros no instante em que o primeiro está a do cruzamento e o segundo está a do cruzamento. Qual a interpretação física do sinal do resultado encontrado?

Um objeto circular aumenta de tamanho de alguma forma desconhecida. Entretanto, é sabido que quando o raio é igual a , a taxa de variação do raio é igual a . Encontre a taxa de variação da área quando o raio é igual a .

Sejam , com e um ponto sobre o gráfico de . Considere a reta tangente ao gráfico de no ponto e o ponto em que intercepta o eixo .

Determine, em termos da abscissa de , a abscissa do ponto .

Suponha que o ponto esteja sobre o gráfico de e que no instante em que sua abscissa esteja se deslocando a uma taxa de variação de unidades por segundo.

Determine a taxa de variação da abscissa do ponto nesse instante.

Seja o ângulo que a reta forma com o eixo . Determine a taxa de variação de nesse mesmo instante.

Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a .

Lembre que o volume da esfera de raio é igual a

Um biólogo está em uma ponte sobre um rio e está inspecionando o rio com o auxílio de um drone. O drone mantém uma altura constante de com relação à ponte. O biólogo mantém o drone sobrevoando um trecho do rio em linha reta a uma velocidade constante de . Qual a taxa de variação da distância entre o biólogo e o drone quando a distância entre os dois for de ?

Um petroleiro se rompeu e uma mancha de óleo está se espalhando na superfície do mar. Sabe-se que a mancha de óleo tem superfície plana e circular e que o raio da mancha está crescendo a uma taxa constante de . Qual a taxa de crescimento da área da mancha quando o raio da mancha for igual a ?

Um economista anunciou que os juros estão crescendo, mas a uma taxa decrescente. Interprete esta afirmação em termos de derivada.

Um quadro com de altura está colocado numa parede vertical, sendo que sua base está a acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador está se aproximando da parede a uma velocidade de , determine a taxa de variação da medida do ângulo de visão da pintura no instante em que o observador estiver a da parede.

Um projétil é lançado verticalmente para cima e segundos após o lançamento está metros do solo, onde . Calcule:

1. O tempo necessário para o projétil atingir a altura máxima

No instante horas um veículo está quilômetros à leste de um ponto de referência na estrada

1. Onde está o veículo quando a velocidade é zero?

Uma escada de de comprimento está apoiada em um muro de de altura, conforme

representado na figura. A base da escada desliza pelo chão, afastando-se do muro, com velocidade constante de . Determinar a taxa de variação instantânea da altura , indicada na figura, no instante em que a base da escada está a uma distância de do muro.

Uma quantidade bastante conhecida na Física é o momento, que é dado pelo produto da massa pela velocidade: . A força agindo sobre o objeto é a taxa de variação do momento em relação ao tempo: . Assumindo a massa do objeto como constante, temos , que é a Segunda Lei de Newton. No contexto de mecânica relativística, a massa do objeto não é constante e varia conforme sua velocidade: . Em que é a massa de partícula em repouso e é a velocidade da luz. Usando que e que a massa varia conforme a mecânica relativística, mostre que