Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 41
Um tanque cheio de água tem a forma de um paralelepípedo retangular com 30 m de comprimento, 15 m de largura e uma profundidade de 4 m. Ache o trabalho necessário para bombear a água no tanque a um nível de 50cm acima da borda do tanque.
Passo 1
Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.
A origem será o topo do reservatório e a repartição será considerada nas dimensões do reservatório .
Essa é uma questão que usaremos a Soma de Riemann, então chamaremos de um ponto qualquer nesse intervalo .
Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!
Passo 2
Agora vem a parte de imaginar, pode parecer a pior parte, mas eu te garanto que depois de um tempo você terá facilidade com isso!
Pensaremos num elemento muito fino de mesma forma da superfície do reservatório, que é um retângulo, esse elemento terá espessura e qual a área entãp?
Ora, vamos pensar! É igual a
Belezaa! Agora com a área calculada e com a espessura definida, teremos o volume dado por:
Passo 3
Vamos agora pensar no Peso da água para , lembrando que e gravidade igual a , temos que multiplicar a gravidade pela densidade e temos:
Voltamos a pensar no elementinho, qual será a força sobre ele?
Ora, será o peso de multiplicado pelo seu volume:
Já temos o peso, que é uma força, o que precisamos para o trabalho??
Isso aí, a distância e como faremos?
Imaginaremos que seja muito próximo! O que vai acontecer com a posição? Será igual a , e a distância será a posição mais o quanto sobe acima da borda!
O trabalho do elementinho será:
Pensando em todos os elementinho teremos:
Para finalizar! Ufaaa, calcularemos essa integral: