Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10 1 + x 2 newtons em um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 m.

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos uma partícula que é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10 1 + x 2 newtons em um ponto a x metros da origem.

A partir daí queremos calcular o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9   m .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular o trabalho vamos usar a fórmula da integral, pois aqui temos a força como uma função:

W = ∫ a b f x d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f x , como a distância percorrida é da origem até 9 m, temos que a = 0 e b = 9 , e f x = 10 1 + x 2 . Vamos susbtituir agora então:

W = ∫ a b f x d x = ∫ 0 9 10 1 + x 2 d x

Veja só!

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 10 1 + x 2 d x = ∫ 10 u 2 d u = ∫ 10 u - 2 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar. Vamos resolver a integral separadamente, e aí voltamos à expressão:

∫ 10 u - 2 d u = 10 ∫ u - 2 d u

∫ 10 u - 2 d u = 10 ∙ u - 2 + 1 - 2 + 1 = 10 ∙ u - 1 - 1

∫ 10 u - 2 d u = - 10 u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 10 u - 2 d u = - 10 u + C = - 10 1 + x + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

W = ∫ 0 9 10 1 + x 2 d x

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

W = - 10 1 + x 0 9 = - 10 1 + 9 - - 10 1 + 0

W = - 10 10 - - 10 1

W = - 1 + 10

W = 9   J

E aí! tudo certinho? Responde Aí!

Resposta

W = 9   J

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