Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 3

Uma partícula é movida ao longo do eixo por uma força que mede newtons em um ponto a metros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de m.

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos uma partícula que é movida ao longo do eixo por uma força que mede newtons em um ponto a metros da origem.

A partir daí queremos calcular o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular o trabalho vamos usar a fórmula da integral, pois aqui temos a força como uma função:

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a por uma força , como a distância percorrida é da origem até m, temos que e , e . Vamos susbtituir agora então:

Veja só!

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição:

Vamos fazer a mudança de variável:

Vamos agora achar a diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar. Vamos resolver a integral separadamente, e aí voltamos à expressão:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: