Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 3
Uma partícula é movida ao longo do eixo por uma força que mede newtons em um ponto a metros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de m.
Passo 1
E aí! como vai?
Nesse problema temos uma partícula que é movida ao longo do eixo por uma força que mede newtons em um ponto a metros da origem.
A partir daí queremos calcular o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de .
Tem ideia de como fazemos isso?
Para calcular o trabalho vamos usar a fórmula da integral, pois aqui temos a força como uma função:
A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a por uma força , como a distância percorrida é da origem até m, temos que e , e . Vamos susbtituir agora então:
Veja só!
Passo 2
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição:
Vamos fazer a mudança de variável:
Vamos agora achar a diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar. Vamos resolver a integral separadamente, e aí voltamos à expressão:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá:
Calculando a integral e aplicando os limites de integração...
E aí! tudo certinho? Responde Aí!