Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.4 - Ex. 7
Uma força de lb é necessária para manter uma mola esticada pol além do seu comprimento natural. Quanto trabalho é realizado para estica-la do seu comprimento natural até pol além do seu tamanho natural?
Passo 1
Opa, bora lá! Aqui vamos usar a Lei de Hooke:
Onde é a força necessária pra esticara mola, que na questão é de ln, por unidades além do seu comprimento, onde , em polegadas, que equilave a pés, dado na questão, vamos então achar :
Temos então que , vamos agora calcular o trabalho:
Para calcular o trabalho vamos usar a fórmula da integral, pois aqui temos a força como uma função:
A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a por uma força , como a distância percorrida até pol, que equivale a pés, temos que e , e . Vamos susbtituir agora então:
Passo 2
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar. Vamos resolver a integral separadamente, e aí voltamos à expressão:
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá:
Prontinho!