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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 68

  1. Um tanque contém 5000 l de agua pura. Agua salgada, contendo 30 g de sal por litro de agua é bombeada para dentro do tanque a uma taxa 25 l / m i n . Mostre que a concentração de sal depois de   t minutos (em gramas por litros) é

    2. C t = 30 t 200 + t  

  2. O que acontece com a concentração quando t → ∞ ?

Passo 1

Falaaa... tudo bem?? Nessa questão vamos mostrar que a concentração de sal depois de t minutos é:

C t = 30 t 200 + t

Sabendo que o tanque contém   5000   l   de água pura e depois água salgada, contendeo 30   g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25   l / m i n .

Pra isso vamos lembrar só que concentração é dado como massa sobre volume:

C t = m V

Depois vamos analisar o que acontece quando a concentração quando t tende a infinito.

Pra isso vamos calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ C t

Passo 2

  1. A concentração de uma substância é dada por

    2. C t = m V

    Onde m representa a massa de sal e V o volume total.

    Repara que a massa de sal vem somente da água salgada adicionada, então a massa total de sal com o tempo vai ser a concentração da água salgada vezes a taxa com a qual ela é bomberada vezes tempo:

    m = 30 g l ⋅ 25 l m i n ⋅ t   m i n

    Cortando litro com litro e minuto com minuto:

    m = 75 0 t   g

    Já a quantidade de água total no tanque vai ser a quantidade inicial mais a quantidade de água que entra por minutos vezes o tempo:

    V = 5000   l + 25 l m i n ⋅ t   m i n

    Cortando minuto com minuto:

    V = 5000 + 25 t   l

    Voltando pra concentração:

    C t = m V

    C t = 75 0 t   g 5000 + 25 t   l

    C t = 75 0 t 5000 + 25 t g l

    Colocando o 25 em evidência:

    C t = 75 0 t 25 200 + t g l

    C t = 75 0 t 25 200 + t g l

    C t = 30 t 200 + t g l

    Achamos:

    C t = 30 t 200 + t

    Passo 3

  2. Agora, tomaremos o limite com t → ∞

lim t → ∞ ⁡ 30 t 200 + t

Dividindo todos por t

lim t → ∞ ⁡ 30 200 t + 1

lim t → ∞ ⁡ 30 1 = 30 g / l

Resposta

  1. C t = 30 t 200 + t
  2. 30 g / l
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Ache o limiteunderset(y - - oo)(lim) (sqrt(y^4 + 1))/(2 y^2 - 3)
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = x + 1 x 2 x é 2,6 , 10,100,1.000,10.000,100.000 e x é - 2 , - 6 , - 10 , - 100 , - 1.000 , - 10.000 , - 100.000 . a
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = x 2 x + 1 x é 2,6 , 10,100,1.000,10.000,100.000 e x é - 2 , - 6 , - 10 , - 100 , - 1.000 , - 10.000 , - 100.000 . a
Ache o limiteunderset(s - - oo)(lim) (4 s^2 + 3)/(2 s^2 - 1)
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = 5 x - 3 10 x + 1 x é 2,6 , 10,100,1.000,10.000,100.000 e x é - 2 , - 6 , - 10 , - 100 , - 1.000 , - 10.000 , - 100.