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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 112

Teoria e exemplos: Nos Exercícios 111-114, determine se a sequência é monotônica e se é limitada.

112. a n =   ( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) !

Passo 1

Fala, galerinha! Para saber se a sequência é monotônica, temos que descobrir se ela é crescente ou decrescente. Para saber se ela é limitada, temos que mostrar que ela é limitada inferiormente e superiormente. Preparados? Então, vamos lá!

Vamos começar tentando encontrar o limite inferior. Nós sabemos que, se N > M , então

N ! > M !

Essa é uma característica da função fatorial. Beleza, como

n + 1 < 2 n + 3

então,

n + 1 ! < 2 n + 3 ! ⇒ 1 < 2 n + 3 ! n + 1 ! = a n

⇒ a n   > 1

Passo 2

O próximo passo é tentar encontrar um limite superior. Mas, essa sequência cresce indeterminadamente, então não pode ter um limitante superior. Vamos mostrar isso. Vamos supor que a sequência tem um limitante superior L . Então

( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) ! = a n ≤ L

Vamos multiplicar por 2 n + 5 ( 2 n + 4 ) e dividir por n + 2 :

2 n + 5 ( 2 n + 4 ) ( 2 n   +   3 ) ! ( n + 2 ) ( n   +   1 ) ! = ( 2 n + 5 ) ! ( n + 2 ) ! ≤ L ( 2 n + 5 ) ( 2 n + 4 ) ( n + 2 )

Mas,

a n + 1 = ( 2 n + 2   +   3 ) ! ( n   + 1 +   1 ) ! = ( 2 n + 5 ) ! ( n + 2 ) !

Logo,

a n < L ( 2 n + 5 ) ( 2 n + 4 ) ( n + 2 ) = L '

Além disso,

( 2 n + 5 ) ( 2 n + 4 ) ( n + 2 ) = 2 ( 2 n + 5 ) ( n + 2 ) ( n + 2 ) = 2 ( 2 n + 5 ) > 2

Com isso, L ' > 2 L , ou seja, o novo limitante superior é maior que o primeiro. Isso quer dizer que a função não é limitada superiormente, porque sempre temos que aumentar esse limitante.

Passo 3

Agora vamos verificar que a sequência é crescente. Para isso, calculamos a n + 1 :

a n + 1 =   ( 2 ( n + 1 )   +   3 ) ! ( ( n + 1 )   +   1 ) ! =   ( 2 n   +   5 ) ! ( n   +   2 ) !

a n + 1 - a n =   ( 2 n   +   5 ) ! ( n   +   2 ) !   -     ( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) !   = ( 2 n   +   5 ) ( 2 n + 4 ) ( 2 n + 3 ) ! ( n   +   2 ) ( n + 1 ) !   -     ( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) !    

a n + 1 - a n =   ( 2 n + 5 ( 2 n + 4 ) n + 2   -   1 ) ( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) !   = ( 4 n 2 +   18 n   +   10   -   n   -   2 n + 2 ) ( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) !

a n + 1 - a n = ( 4 n 2 +   17 n   +   8 n + 2 ) ( 2 n   +   3 ) ! ( n   +   1 ) !

Como n > 0 , então

4 n 2 +   17 n   +   8 n + 2 > 0

Logo,

a n + 1 - a n > 0 ⇒ a n + 1 > a n

Ou seja, a função é sempre crescente.

Resposta

Monotônica, não limitada.

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