Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 124
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
124.
Passo 1
Fala, pessoal! Preparados para detonar essa questão? Bora lá!
Para descobrir se a sequência converge, vamos testar se ela é monotônica e limitada. Antes de fazer isso, vamos escrever os primeiros termos dessa sequência para tentar encontrar um padrão:
Ótimo, conseguimos um padrão:
Passo 2
Agora, vamos testar se a sequência é limitada. Temos
Então, a sequência tem um limitante superior. E quanto ao inferior? Bom, se a gente olhar para os valores dos primeiros termos da sequência que nós calculamos no Passo 1, dá pra ter uma noção de que a sequência sempre vai ficando mais e mais negativa, então ela não deve ter um limitante inferior. Nós vamos provar isso no próximo passo.
Passo 3
Vamos supor que a sequência tenha um limitante inferior , já que a maioria dos termos da sequência são negativos. Então,
Vamos multiplicar por em ambos os lados:
Somando em ambos os lados:
Mas,
Ou seja, nós mostramos que o próximo termo da sequência tem um outro limitante, que é menor que o primeiro. Então, como o limitante não é único, nós podemos concluir que a sequência não é limitada inferiormente. Logo, ela não converge.
Resposta
Diverge.