Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 118
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
118.
Passo 1
Fala, galera! Ficaram com dúvida nessa questão? Vem comigo que a gente Responde Aí juntos!
Para testar a convergência da sequência, precisamos testar se ela é limitada e monotônica. Caso sim, então ela converge.
Vamos começar testando se a sequência é limitada. Reescrevendo a sequência, ficamos com
Passo 2
Agora, vamos notar que
Quando elevamos qualquer número menor que a alguma potência, o resultado também é menor que :
Da mesma forma, para , temos
Multiplicando a última desigualdade por e somando , obtemos
Agora, relembrando a primeira desigualdade, temos que e . Então,
Ou seja, a sequência é limitada.
Passo 3
Falta só verificar a monotonicidade. Seguindo o mesmo raciocínio das questões anteriores, temos que
e
Agora, vamos fazer a diferença entre e :
Logo, podemos concluir que a sequência é decrescente e a sequência será monotônica. Além disso, ela é limitada e, por isso, converge.
Resposta
Converge.