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Exercícios de Teorema da Sequência Monótona - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

( b ) Mostre que a sequência

2 n n !

é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não se esqueça de justificar.)

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Questão 2

Seja a n n = 1 ∞ a sequência dada por:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

a 1 = 3

  1. Sabendo que, para todo n ≥ 1 , a n > 3 , mostre que a n n = 1 ∞ converge.
  2. Calcule

lim n → ∞ ⁡ a n

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Questão 3

Seja x n n ≥ 1 a sequência dada por:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando n → ∞ .

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Questão 4

Verifique se existe lim n → ∞ ⁡ a n

a n = 1 n ∙ 3.6 . 9.12 … 3 n 1.4 . 7.10 … ( 3 n - 2 )  

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Questão 5

( a ) Dê um exemplo de uma sequência NÃO monótona a n que converge a 3 .

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Questão 6

Considere a sequência

10,1             10,10               10,101                 10,1010                 10,10101               10,101010           … .

Assinale a alternativa correta:

a) A sequência diverge pois possui duas subsequências com limites diferentes.

b) A sequência diverge para + ∞ .

c) A sequência diverge pois possui uma subsequência divergente.

d) A sequência é decrescente e limitada inferiormente, portanto converge.

e) A sequência é crescente e limitada superiormente, portanto converge.

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Questão 7

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Questão 8

Se b n = 1 n , 1 2 n ,   … , 1 n n - 1 + 1 n 2 , então a sequência b n n ∈ N converge a:

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Questão 9

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = 2 n - 3 3 n + 4

  1. Se f x = 2 x - 3 3 x + 4 para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = 2 n - 3 3 n + 4 é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 10

Determine a expressão do termo geral da sequência dada por

1 , 2 2 , 3 6 , 4 24 , 5 120 , 6 720 ,   …

Escolha uma opção:

  1. a n = 1 n + 1 !
  2. a n = 1 n !
  3. a n = n + 1
  4. a n = n !
  5. a n = 1 n - 1 !

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Questão 11

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = a r c t a n ⁡ ( n )

  1. Se f x = a r c t a n ⁡ ( x ) para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = a r c t a n ⁡ ( n ) é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 12

Seja ( x n ) n ∈   N   a sequência definida de forma recorrente por x n = 1 2 x n - 1 + 3 x n - 1 , para n > 1 e x 1 = 2 .

b   Prove que a sequência ( x n ) n ∈   N é limitada e decrescente.

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Questão 13

Seja a n n ∈ N a sequência definida de forma recorrente por:

a 1 = 3 ,     a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n ,     n ≥ 1

( a ) Supondo que a sequência a n n ∈ N seja convergente, calcule seu limite.

b Prove que a n n ∈ N é limitada e decrescente.

( c ) Justifique por que a n n ∈ N é convergente.

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Questão 14

" S e   a n   é   u m a   s e q u ê n c i a   m o n ó t o n a ,   e n t ã o   a n   é   c o n v e r g e n t e . "

a Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.

b Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa.

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Questão 15

Seja x n n ≥ 1 a sequência dada por:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando n → ∞

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Questão 16

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = n e - n

  1. Se f x = x e - x para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = n e - n é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 17

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Questão 18

Seja s n n ∈ N a sequência cujo enésimo termo é definido por

s n = ∑ k = 2 n ln ⁡ k k + 1 ,   p a r a   t o d o   n ≥ 2

Em relação à sua convergência é correto dizer

( ) s n = ln ⁡ n , para todo n ≥ 2

( ) s n = ln ⁡ ( n + 1 ) - 1

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) A sequência diverge para ∞

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Questão 19

Seja s n n ∈ N a sequência cujo enésimo termo é definido por

s n = ∑ k = 1 n [ e n + 1 - e n ] ,   p a r a   t o d o   n ≥ 1

Em relação à sua convergência é correto dizer

( ) s n = e n + 1 - e , para todo n ≥ 1

( ) A sequência diverge para ∞

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) s n = e n - e

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Questão 20

Seja a n n = 1 ∞ a sequência dada por:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

a 1 = 3

  1. Sabendo que, para todo n ≥ 1 , a n > 3 , mostre que a n n = 1 ∞ converge.
  2. Calcule

lim n → ∞ ⁡ a n

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Questão 21

( b ) Mostre que a sequência

2 n n !

é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não esqueça de justificar.)

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Questão 22

Se b n = 1 n ∑ k = 1 n 1 k , então a sequência b n n ∈ N converge a:

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Questão 23

Avalie, quanto à convergência ou não, a sequência a n n ∈ N   definida recursivamente abaixo, onde β é um número real. Para os valores de β que tornam a sequência convergente, determine seu limite.

a 1 = 1 ,           a n + 1 = 1 2 a n + β a n

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Questão 24

Seja ( x n ) n ∈   N   a sequência definida de forma recorrente por x n = 1 2 x n - 1 + 3 x n - 1 , para n > 1 e x 1 = 2 .

c   Justifique por que ( x n ) n ∈   N é convergente.

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Questão 25

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Questão 26

Se uma sequência a n n ∈ N satisfaz:

  1. 0 ≤ a 1
  2. a n + 1 = a n + 4 2 para todo n ≥ 1

Então a sequência a n n ∈ N converge?

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

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Questão 27

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = c o s ⁡ ( n π )

  1. Se f x = c o s ⁡ ( π x ) para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = c o s ⁡ ( n π ) é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 28

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = n 2 e - n

  1. Se f x = x 2 e - x para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = n 2 e - n é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 29

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = n e - n

  1. Se f x = x e - x para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = n e - n é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 30

A soma dos primeiros 100 ímpares

Escolha uma opção:

  1. 10000
  2. 10010
  3. 501
  4. 500

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Questão 31

Considere a seguinte proposição

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente

  1. Decida se a proposição é verdadeira ou falsa
  2. Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa

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Questão 32

Verifique se existe lim n → ∞ ⁡ a n

a n = 1 n ∙ 3.6 . 9.12 … 3 n 1.4 . 7.10 … ( 3 n - 2 )  

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Questão 33

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Questão 34

Determine o termo geral da sequência abaixo

0 , 3 2 , 2 3 , 5 4   , 4 5 , 7 6 , 6 7 …

Escolha uma opção:

  1. a n = n n - 1 , se n é par e a n = n + 2 n + 1 , se n é ímpar
  2. a n = n + 1 n , se n é par e a n = n + 2 n + 1 , se n é ímpar
  3. a n = n + 1 n , se n é par e a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar
  4. a n = n + 2 n + 1 , se n é par e a n = n n + 1 , se n é ímpar
  5. a n = n n + 1 , se n é par e a n = n + 2 n + ! , se n é ímpar

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Questão 35

Determine o termo geral da sequência abaixo

2 3 , 3 2 , 4 5 , 5 4 , 6 7 , 7 6 , …

Escolha uma opção:

  1. a n = n + 2 n + 1 , se n é ímpar e a n = n n + 1 , se n é par
  2. a n = n + 1 n , se n é ímpar e a n = n + 1 n + 2 , se n é par
  3. a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar e a n = n + 1 n , se n é par
  4. a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar e a n = n - 1 n , se n é par
  5. a n = n n + 2 , se n é ímpar e a n = n + 1 n , se n é par

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Questão 36

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = n n 2 + 2

  1. Se f x = x x 2 + 2 para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = n n 2 + 2 é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

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Questão 37

2 – Seja a n = n + 1 n 3 n .

a) Determine se a n é convergente.

Repita a análise para b n = n + 1 2 n n + 2 , isto é, estude a convergência de b n .

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Questão 38

1) Seja a n uma sequência definida pelas seguintes relações: a n + 1 = a n para todo n ∈ N e a 1 = 1 64 .

ii) Sabendo que para todo número real r tal que 0 < r < 1 , vale que r < r < 1 , argumente, usando o Teorema das Sequências Monótonas, que a sequência é convergente.

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Listas de Exercícios Resolvidos

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