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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 114

Teoria e exemplos: Nos Exercícios 111-114, determine se a sequência é monotônica e se é limitada.

114. a n = 2 - 2 n - 1 2 n

Passo 1

Fala, pessoal! Recapitulando um pouco da teoria, a sequência é monotônica se ela é crescente ou decrescente e é limitada se for limitada inferiormente e superiormente. Então, vamos testar isso.

Temos

0 < 2 n ≤ 2

e

0 < 1 2 n ≤ 1 2

Então,

0 < 1 2 n + 2 n ≤ 1 2 + 2 = 5 2

Invertendo o sinal dessa desigualdade, obtemos

- 5 2 ≤ - 1 2 n - 2 n < 0

Agora, somamos 2 a ambos os lados:

- 5 2 + 2 ≤ 2 - 1 2 n - 2 n < 0 + 2

- 1 2 ≤ 2 - 1 2 n - 2 n < 2

Então, a sequência é limitada tanto superior quanto inferiormente.

Passo 2

Beleza, galera! Agora só temos que ver se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, temos que calcular a n + 1 :

a n + 1 = 2 - 2 n + 1 - 1 2 n + 1

Agora, calculamos a diferença com a n

a n + 1 - a n = 2 - 2 n + 1 - 1 2 n + 1 - 2 - 2 n - 1 2 n = 2 n + 1 2 n - 2 n + 1 - 1 2 n + 1

a n + 1 - a n = 2 n ( n + 1 ) n + 1 - n + 1 2 n 1 - 1 2 = 2 n ( n + 1 ) + 1 2 n + 1 > 0

Ou seja,

a n + 1 - a n > 0 ⇒ a n + 1 > a n

Logo, a sequência é crescente. Gostou da resolução? Responde Aí!

Resposta

Monotônica e limitada.

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