Se um termômetro foi tirado de um ambiente e quem a temperatura é 75ºC para um lugar aberto onde a temperatura é 35ºC e a leitura do termômetro é 65ºC após 30s.

  1. Quanto tempo após removido ele marcará 50ºC ?

Sabendo que a lei de resfriamento de Newton

dy/dt = k * (y - 35), onde k é uma constante

Passo 1

Abrindo a equação

d y d t - k y =   - 35 k

Temos uma equação ordinária de primeira ordem. Logo esperamos que sua solução seja algum múltiplo de e a   ,   o n d e   a   é   o   i n t e g r a l   d o   f a t o r   q u e   m u l t i p l i c a   y .   N o   n o s s o   c a s o   a =   ∫ - k d t   .   l o g o   ,   a =   - k t

Passo 2

Multiplicar ambos os lados por e - k t  

e - k t   d y d t - k e - k t   y =   - 35 k e - k t  

d d t e - k t   y =   - 35 k e - k t  

Integrando dos dois lados temos :

e - k t   y = 35 e - k t   + C

y = 35 + C e k t    

Passo 3

A c h a n d o   k   e   C   p e l o s   d a d o s   d e   c o n t o r n o   d o   p r o b l e m a q u a n d o   t = 0   ,   y = 75   ,   l o g o   C = 40  

Assim temos :

y = 35 + 40 e k t  

Quando t = 30 , y = 65 e obtemos

65 = 35 + 40   e 30 k

  l o g o   e 30 k = 3 4

K   = l n 3 4 30

Assim nossa equação fica

y = 35 + 40   e l n 3 4 30   t

      Pelos dados do problema, y = 50 , queremos t

50 = 35 + 40   e l n 3 4 30   t

15 40 = e l n 3 4 30   t

t = 30  ln ⁡ 15 40 ln ⁡ 3 4          

Resposta

t = 102   s  

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