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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.7 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

  1. Encontre os valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3   e   0,4 usando o método de Euler com h = 0,1 .
  2. Repita o item (a) com h = 0,05 . Compare os resultados com os encontrados no item (a)
  3. Repita o item (a) com h = 0,025 . Compare os resultados com os encontrados no item (a)
  4. Encontre a solução y = ϕ ( t ) do problema dado e calcule ϕ ( t ) em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3   e   0,4 . Compare esses valores com os resultados de (a), (b), (c).

y ' = 0,5 - t + 2 ⋅ y , y 0 = 1 .

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

  1. Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

    2. y n + 1 = y n + f n ⋅ h

    y n + 1 = y n + 0,5 - t + 2 ⋅ y n ⋅ h = 1 + 2 ⋅ h ⋅ y n + 0,5 - t ⋅ h

    Começando com n = 0 , teremos que

    y 1 = 1 - 2 ⋅ 0,1 ⋅ 1 + 0,5 - 0,1 ⋅ 0,1 = 0,84

    Repetindo o mesmo processo até n = 3 , teremos os seguintes resultados

    y 2 = 0,702

    y 3 = 0,5816

    y 4 = 0,4753

    Passo 3

  2. Para h = 0,05 , temos que

    3. y 1 = 0,92

    y 2 = 0,843

    y 3 = 0,7687

    y 4 = 0,6968

    Passo 4

  3. Para h = 0,025 , temos que

    4. y 1 = 0,96

    y 2 = 0,9195

    y 3 = 0,8785

    y 4 = 0,8371

    Percebemos que os resultados no item c) e b), em comparação com no item a), são muito mais precisos pelo fato de nosso h ser cada vez menor.

    Passo 5

  4. Temos que nossa EDO não é separável, então vamos resolve-lá pelo fator integrante. Calculando nosso u t chegamos que u t = e - 2 ⋅ t . Multiplicando nossa equação pelo fator integrante, vemos que agora a mesma pode ser separa. Resolvendo então, chegamos que

y = e - 2 ⋅ t 2 ⋅ e - 2 ⋅ t + C e - 2 ⋅ t = e - 2 ⋅ t + K 2 ⋅ e - 2 ⋅ t

Aplicando a condição de contorno, temos que

y 0 = 1 = e - 2 ⋅ 0 ⋅ t + K 2 ⋅ e - 2 ⋅ 0 → K = ( 2 - t )

Substituindo na relação encontrada, temos que

y = e - 2 ⋅ t ⋅ t + 2 - t 2 ⋅ e - 2 ⋅ t

Assim, calculando nossos valores para t , temos que

y 1 = 1,2103

y 2 = 1,4426

y 3 = 1,6988

y 4 = 1,9804

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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