Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 14
Um termômetro é tirado de uma sala na qual a temperatura é C e levado para fora, onde a temperatura é C. Depois de minuto a leitura no termômetro é C.
(a) Qual será a leitura no termômetro depois de mais um minuto?
(b) Quando a leitura no termômetro será C?
Passo 1
Eaee, belezinha??Bom... O enunciado nos diz o seguinte:
“Um termômetro é tirado de uma sala na qual a temperatura é C e levado para fora, onde a temperatura é C. Depois de minuto a leitura no termômetro é C.”
A partir disso queremos descobrir a leitura no termômetro depois de mais um minuto e o tempo que levará para a leitura marcar .
Para isso, temos que saber da Lei de Resfriamento de Newton.
Essa Lei nos diz que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:
Onde é a temperatura em função do tempo , a constante é a temperatura do meio circundante e é a taxa de resfriamento relativa e constante.
Tranquilo até aí? Então bora prosseguir com um pouquinho mais de raciocínio nisso 😉
Passo 2
Se, por mudança de variáveis chamarmos de temos:
Derivando a equação em função de :
Logo:
Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:
Ou
Passo 3
Se quando minuto, o termômetro com temperatura inicial C, em um meio circundante com temperatura C, apresenta a temperatura C, podemos substituir esses valores na equação exponencial:
Logo, a temperatura obedece a função:
Passo 4
Item a:
Agora, para achar a temperatura no segundo minuto é só encontrar :
C
Logo, a leitura no termômetro depois de mais um minuto será de aproximadamente °C.
Passo 5
Item b:
O termômetro terá esfriado para C quando , portanto, devemos achar o para que isso aconteça:
Logo, o termômetro terá esfriado para C após aproximadamente 3,6 minutos.
Resposta
(a) No segundo minuto a temperatura é de aproximadamente °C.
(b) O termômetro terá esfriado para C após aproximadamente 3,6 minutos.