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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 12

Derive a função:

R t = ( t + e t ) ( 3 - t )  

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos partir para mais uma resolução.

Aqui a gente tem que derivar a função:

R t = ( t + e t ) ( 3 - t )

Mas neste caso a função é composta por uma multiplicação, então o que fazemos?

Usamos a Regra do Produto!

Então é isso, para derivar essa função essa é a regra principal.

Outro ponto importante aqui é escrever a raiz como forma de potência em fracionada, pois nos permite aplicar a regra de derivação pra polinômio nela.

Passo 2

Então vamos aplicar a regra do produto:

R ' t = t + e t ∙ d d t 3 - t 1 2 + 3 - t 1 2 ∙ d d t ( t + e t )

Derivando cada parcela individualmente:

R ' t = t + e t . d d t 3 - d d t t 1 2 + 3 - t 1 2 . d d t t + d d t e t

A derivada da constante é nula:

R ' t = t + e t . 0 - d d t t 1 2 + 3 - t 1 2 . d d t t + d d t e t

Derivando os polinômios:

R ' t = t + e t . - 1 2 t - 1 2 + 3 - t 1 2 . 1 + d d t e t

Derivando agora e t :

R ' t = t + e t . - 1 2 t - 1 2 + 3 - t 1 2 . 1 + e t

Reorganizando fazendo os produtos:

R ' t = - t 2 t 1 2 - e t 2 t 1 2 + 3 + 3 e t - t 1 2 - e t t 1 2

Dividindo t t 1 2 = t 1 - 1 2 :

R ' t = - t 1 2 2 - e t 2 t 1 2 + 3 + 3 e t - t 1 2 - e t t 1 2

Somando termos semelhantes:

R ' t = - 3 t 1 2 2 - e t 2 t 1 2 + 3 + 3 e t - e t t 1 2

Resposta

R ' t = - 3 t 1 2 2 - e t 2 t 1 2 + 3 + 3 e t - e t t 1 2

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