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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 10

Calcule a integral.

int s e n^6 (pi x) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Devemos calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas e substituições.

Fazendo t = pi x , temos que d t = pi d x . Assim,

int s e n^6 (pi x) d x = (1)/(pi) int s e n^6 t d t = (1)/(pi) int (s e n^2 t)^3 d t

Da relação arco duplo:

cos 2 t = cos^2 t - s e n^2 t = (1 - s e n^2 t) - s e n^2 t

cos 2 t = 1 - 2 s e n^2 t

s e n^2 t = (1 - cos 2 t)/(2)

Veja só!

Passo 2

Usando a relação do arco duplo:

int s e n^6 (pi x) d x = (1)/(8 pi) int (1 - cos 2 t)^3 d t

int s e n^6 (pi x) d x = (1)/(8 pi) int (1 - 3 cos 2 t + 3 cos^2 2 t - cos^3 2 t) d t

Vamos separar a integral no que já sabemos calcular:

int s e n^6 (pi x) d x = (1)/(8 pi) t - (3)/(16 pi) s e n 2 t + (3)/(8 pi) int cos^2 2 t d t - (1)/(8 pi) int cos^3 2 t d t

Vamos calcular primeiro a primeira integral que falta usando que cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) .

Bora lá!

Passo 3

Fazendo u = 2 t , a primeira integral que resta será:

int cos^2 2 t d t = (1)/(2) int cos^2 u d u = (1)/(4) int (1 + cos 2 u) d u

int cos^2 2 t d t = (1)/(4) u + (1)/(8) s e n 2 u

int cos^2 2 t d t = (t)/(2) + (1)/(8) s e n 4 t

No próximo passo calculamos a última integral que falta.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Queremos calcular

int cos^3 2 t d t = (1)/(2) int cos^3 u d u = (1)/(2) int (1 - s e n^2 u) cos u d u

Fazendo y = sen u => d y = cos u d u . Assim,

int cos^3 2 t d t = (1)/(2) int (1 - y^2) d y = (1)/(2) y - (1)/(6) y^3

int cos^3 2 t d t = (1)/(2) s e n 2 t - (1)/(6) s e n^3 2 t

Estamos quase lá!

Passo 5

Assim, podemos voltar a integral original:

int s e n^6 (pi x) d x = (1)/(8 pi) t - (3)/(16 pi) s e n 2 t + (3)/(8 pi) ((t)/(2) + (1)/(8) s e n 4 t) - (1)/(8 pi) ((1)/(2) s e n 2 t - (1)/(6) s e n^3 2 t)

Assim,

int s e n^6 (pi x) d x = (5 t)/(16 pi) - (1)/(4 pi) s e n 2 t + (1)/(48 pi) s e n^3 2 t + (3)/(64 pi) s e n 4 t + C

Ufa, estamos quase terminando, só falta voltar para variável original:

int s e n^6 (pi x) d x = (5 x)/(16) - (1)/(4 pi) s e n (2 pi x) + (1)/(48 pi) s e n^3 (2 pi x) + (3)/(64 pi) s e n (4 pi x) + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

(5 x)/(16) - (1)/(4 pi) s e n (2 pi x) + (1)/(48 pi) s e n^3 (2 pi x) + (3)/(64 pi) s e n (4 pi x) + C

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