Calcule a integral.

∫ s e n 6 π x   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Devemos calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas e substituições.

Fazendo t = π x , temos que d t = π d x . Assim,

∫ s e n 6 π x   d x = 1 π ∫ s e n 6 t   d t = 1 π ∫ s e n 2 t 3   d t

Da relação arco duplo:

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ t - s e n 2 t = 1 - s e n 2 t - s e n 2 t

cos ⁡ 2 t = 1 - 2   s e n 2 t

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Veja só!

Passo 2

Usando a relação do arco duplo:

∫ s e n 6 π x   d x = 1 8 π   ∫ 1 - cos ⁡ 2 t 3   d t

∫ s e n 6 π x   d x = 1 8 π   ∫ 1 - 3 cos ⁡ 2 t + 3 cos 2 ⁡ 2 t - cos 3 ⁡ 2 t   d t

Vamos separar a integral no que já sabemos calcular:

∫ s e n 6 π x   d x = 1 8 π t - 3 16 π s e n   2 t + 3 8 π ∫ cos 2 ⁡ 2 t   d t - 1 8 π ∫ cos 3 ⁡ 2 t   d t

Vamos calcular primeiro a primeira integral que falta usando que cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 .

Bora lá!

Passo 3

Fazendo u = 2 t , a primeira integral que resta será:

∫ cos 2 ⁡ 2 t   d t = 1 2 ∫ cos 2 ⁡ u d u = 1 4   ∫ 1 + cos ⁡ 2 u   d u

∫ cos 2 ⁡ 2 t   d t = 1 4 u + 1 8 s e n   2 u

∫ cos 2 ⁡ 2 t   d t = t 2 + 1 8 s e n   4 t

No próximo passo calculamos a última integral que falta.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Queremos calcular

∫ cos 3 ⁡ 2 t   d t = 1 2 ∫ cos 3 ⁡ u   d u = 1 2 ∫ 1 - s e n 2 u cos ⁡ u   d u

Fazendo y = sen ⁡ u ⇒ d y = cos ⁡ u   d u . Assim,

∫ cos 3 ⁡ 2 t   d t = 1 2 ∫ 1 - y 2   d y = 1 2 y - 1 6 y 3

∫ cos 3 ⁡ 2 t   d t = 1 2 s e n   2 t - 1 6 s e n 3 2 t

Estamos quase lá!

Passo 5

Assim, podemos voltar a integral original:

∫ s e n 6 π x   d x = 1 8 π t - 3 16 π s e n   2 t + 3 8 π   t 2 + 1 8 s e n   4 t - 1 8 π 1 2 s e n   2 t - 1 6 s e n 3 2 t

Assim,

∫ s e n 6 π x   d x = 5 t 16 π - 1 4 π   s e n   2 t + 1 48 π s e n 3 2 t + 3 64 π s e n   4 t + C

Ufa, estamos quase terminando, só falta voltar para variável original:

∫ s e n 6 π x   d x = 5 x 16 - 1 4 π s e n 2 π x + 1 48 π s e n 3 2 π x + 3 64 π s e n   4 π x + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

5 x 16 - 1 4 π s e n 2 π x + 1 48 π s e n 3 2 π x + 3 64 π s e n   4 π x + C

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