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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 5

Teste a convergência ou divergência das séries.

∑ n = 1 ∞ - 3 n + 1 2 3 n

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício, vamos analisar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ - 3 n + 1 2 3 n .

Observando a série, podemos notar que ela envolve termos exponenciais com diferentes bases. Para determinar a convergência dessa série, vamos utilizar o Teste da Razão.

O Teste da Razão é adequado quando temos série com termos exponenciais, porque ele nos ajuda a comparar o crescimento relativo dos termos consecutivos da série.

Vamos aplicar o teste da razão, que consiste em calcular o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde a n é o termo geral da série.

  • Se L < 1 , a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou L = ∞ , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Para nossa série, temos:

a n = - 3 n + 1 2 3 n

Passo 2

Primeiro, encontramos a n + 1 :

a n + 1 = - 3 ( n + 1 ) + 1 2 3 n + 1

=   - 3 n + 2 2 3 n + 3

Agora, calculamos a n + 1 a n :

a n + 1 a n =   - 3 n + 2 2 3 n + 3 - 3 n + 1 2 3 n

= - 3 n + 2 2 3 n + 1 × 2 3 n - 3 n + 1

Simplificando a expressão, obtemos:

- 3 n + 2 - 3 n + 1 × 2 3 n 2 3 n + 1

=     - 3 × 1 2 3

O que nos dá:

  - 3 × 1 8

= 3 8

Passo 3

Logo, temos que:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 3 8

Como L = 3 8 < 1 , pelo teste da razão, podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série ∑ n = 1 ∞ - 3 n + 1 2 3 n é convergente.

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