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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 16

  1. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 5,1 , 0 ) e que é perpendicular ao plano 2 x - y + z = 1 .
  2. Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados?

Passo 1

Primeiro devemos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Um reta é comporta por um ponto P e um vetor v → , sendo assim podemos escrever que qualquer ponto ( x , y , z ) da nossa reta é descrito como

x , y , z = P + t v →

Outra coisa importante que devemos lembrar, é que dado um plano descrito como

α x + β y + γ z + d = 0

O vetor normal ao plano é dado pelo gradiente da função, ou seja

∇ α x + β y + γ z + d = ( α , β , γ )

Passo 2

  1. Olhando para o enunciado, temos que P = ( 5,1 , 0 ) e v → = ( 2 , - 1,1 )

    2. Assim nossa equação paramétrica fica

    x , y , z = 5,1 , 0 + t ( 2 , - 1,1 )

    onde

    x = 5 + 2 t

    y = 1 - t

    z = t

    Passo 3

  2. Para sabermos onde a reta intercepta os panos x y , x z e y z . Devemos analisar quando cada respectiva componente se anula, ou seja

Para que a reta intercepte o plano x y → z = 0 , logo

z = t = 0

Então x = 5 + 2 0 = 5 e y = 1 - 0 = 1 . Logo a reta intercepta o plano x y no ponto ( 5,1 , 0 ) .

Para que a reta intercepte o plano x z → y = 0 , logo

y = 1 - t = 0 → t = 1

Então x = 5 + 2 1 = 7 e z = 1 . Logo a reta intercepta o plano x z no ponto ( 7,0 , 1 ) .

Para que a reta intercepte o plano y z → x = 0 , logo

x = 5 + 2 t = 0 → t =   - 5 2

Então y = 1 - - 5 2 = 7 2 e z = - 5 2 . Logo a reta intercepta o plano y z no ponto 0 , 7 2   ,   - 5 2 .

Resposta

x , y , z = 5,1 , 0 + t ( 2 , - 1,1 )

Plano x y → ( 5,1 , 0 )

Plano x z → ( 7,0 , 1 )

Plano y z → ( 0 ,   7 2 ,   - 5 2 )

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