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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 39

Use a definição de derivadas parciais como limites ( 4 ) para achar f x ( x , y ) e f y ( x , y ) .

f x , y = x 2 - x y + 2 y 2

Passo 1

Olá galerinha. Tranquilo?

Nesta questão, precisamos calcular as derivadas parciais da função f ( x , y ) em relação às variáveis x e y . Isso significa que queremos entender como f ( x , y ) muda quando alteramos x e y , mantendo a outra variável constante.

Há alguns passos para seguir.

  1. Primeiro teremos que entender a função e encontrar as derivadas parciais f x ( x , y ) e f y ( x , y ) .
  2. A derivadas parciais são definidas como limites de diferenças finitas quando uma variável é mantida constante e a outra varia infinitesimalmente. Sendo assim usaremos a seguinte definição para f ( x , y ) .

    3. f x x , y = lim h → ∞ ⁡ f x + h , y - f x , y h

    Onde h é um incremento na variável.

  3. Aplicando a definição e simplificando a expressão, chegaremos no resultado.

Vamos começar a brincadeira! 😊

Passo 2

Vamos começar pela derivada parcial em relação a x .

f x , y = x 2 - x y + 2 y 2

Modificando a função e somando h a cada x .

f x + h , y = x + h 2 - x + h y + 2 y 2

Simplificado

f x + h , y = x 2 + 2 x h + h 2 - x y - h y + 2 y ²

Temos então

f x , y = x 2 - x y + 2 y ² f x + h , y = x 2 + 2 x h + h 2 - x y - h y + 2 y ²

Passo 3

Pelo teorema 4 na página 909 temos que f x ( x , y ) vale:

f x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f ( x , y ) h

Substituindo os termos destacados anteriormente

f x x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 - x y - y h + 2 y 2 - x 2 + x y - 2 y 2 h

Reduzindo os termos semelhantes

f x x , y = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 - y h h

Colocando o h em evidência

f x x , y = lim h → 0 ⁡ h ( 2 x + h - y ) h

Cortando o y , temos a seguinte equação

f x x , y = l i m h → 0   2 x + h - y

f x x , y =   2 x + 0 - y

f x x , y = 2 x - y

Passo 4

Agora vamos encontrar a equação em relação a y

f x , y = x 2 - x y + 2 y 2

Modificando a função e somando h a cada y .

f x , y + h = x 2 - x y + h + 2 ( y + h ) ²

Simplificado

f x , y + h = x 2 - x y - x h + 2 y 2 + 2 y h + h 2

f x , y + h = x 2 - x y - x h + 2 y 2 + 4 y h + 2 h 2

Temos então

f x , y = x 2 - x y + 2 y ² f x , y + h = x 2 - x y - x h + 2 y 2 + 4 y h + 2 h 2

Passo 5

Agora para a definição de f y :

f y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f ( x , y ) h

Substituímos o termos encontrarmos anteriormente

f y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 - x y - x h + 2 y 2 + 2 y h + h 2 - x 2 + x y - 2 y 2 h

Simplificando os termos

f y x , y = lim h → 0 ⁡ - x h + 2 y 2 + 4 y h + 2 h 2 - 2 y 2 h

Isolando o y

f y x , y = lim h → 0 ⁡ h - x + 4 y + 2 h h

Cortando o y , temos.

f y x , y = lim h → 0 ⁡ 4 y + 2 h - x

f y x , y = 4 y + 2 ∙ 0 - x

f y x , y = 4 y - x

Não tem muito o que falar, só sentir hahaha espero que vocês saibam o conceito de derivada ele é bem bonito.

Resposta

f x x , y = 2 x - y

f y x , y = 4 y - x

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